이진 무한어의 제곱과 알파 파워 회피

본 논문은 Richomme가 제시한 “α‑파워를 피하면서 모든 위치에서 임의의 큰 제곱을 시작하는 무한어가 존재하는 최소 α”라는 문제를 다룬다. 저자들은 이진 알파벳에 한정했을 때 그 최소값이 정확히 7/3임을 증명한다. 첫 번째 섹션에서는 기본 용어를 정의한다. α‑파워는 단어 w가 xⁿx′ 형태이며, α=n+|x′|/|x|인 경우를 말한다. 2‑파워는 제곱, 2+‑파워는 겹침(overlap)이다. 기존에 Sturmian 단어는 모든 위치에서 제곱을 시작하지만, α‑파워 회피와는 별개이며, Thue–Morse 단어는 겹침을 피하지만 제곱을 시작하지 못한다는 점을 언급한다. 두 번째 섹션에서는 겹침‑프리 이진 제곱이 A={00,11,01001 0,101 101}의 공액이라는 고전 결과를 재현하고, 이를 7/3‑파워‑프리 제곱으로 일반화한다(정리 2). 핵심은 모스 블록(Morse block)의 구조와 레마 3(진행 레마)의 확장이다. 레마 3은 길이가 2ⁿ인 두 모스 블록이 앞부분에 나타날 경우, 중간 부분도 모스 블록이어야 함을 보인다. 이를 통해 7/3‑프리 제곱이 반드시 A의 공액에 속한다는 결론을 얻는다. 세 번째 섹션에서는 7/3‑파워‑프리이면서 모든 위치에서 임의의 큰 제곱을 시작하는 무한어의 존재를 보인다. 저자들은 Kolpakov·Kucheroff·Taranenko가 제시한 (7/3)+‑파워‑프리 모프 f를 변형한 모프 g를 사용한다. 정의된 시퀀스 A₀=011011, Aₙ₊₁=(011010)⁻¹ g(Aₙ)는 각 단계에서 앞부분을 포함하므로 한계 무한어 w가 존재한다. g가 (7/3)+‑파워‑프리이므로 w도 같은 성질을 가진다. 또한 w는 각 위치 i에서 길이 6·21ⁿ인 제곱을 포함함을 보이며, n을 크게 하면 임의의 큰 제곱을 얻을 수 있다(정리 4). 그 다음, 이 결과가 최적임을 증명한다. 정리 5는 어떤 7/3‑파워‑프리 무한어 w라도 반드시 어떤 위치 i에서 arbitrarily large 제곱을 시작하지 못한다는 것을 보인다. 핵심은 길이 >39인 모든 7/3‑프리 단어에 010011이 포함된다는 컴퓨터 검증과, 그 위치에서 제곱이 존재한다면 A의 공액 형태와 모스 블록의 고유성 때문에 5/2‑파워 혹은 7/3‑파워가 만들어지는 모순을 이용한다. 그럼에도 불구하고, 모든 위치에서 제곱을 시작하지만 arbitrarily large 제곱을 보장하지는 않는 7/3‑프리 무한어가 존재한다(정리 6). 여기서는 Currie·Rampersad·Shallit의 이전 작업을 활용해 A₀=00, Aₙ₊₁=0 μ²(Aₙ) 로 정의된 시퀀스를 사용한다. 그 극한 a는 7/3‑프리이며, 각 위치 i에서 길이 2·4ⁿ+1인 제곱을 포함한다. a는 Saari가 정의한 “squareful” 성질을 갖지 않으며, 이는 모든 7/3‑프리 이진 무한어가 squareful이 될 수 없다는 일반적 결론을 뒷받침한다. 마지막으로, α>2인 모든 실수에 대해 α‑파워‑프리이면서 모든 위치에서 제곱을 시작하는 무한어가 존재함을 보이는 일반화 정리(정리 7)를 제시한다. 여기서는 μˢ(0)의 앞부분을 적절히 잘라낸 뒤 반복 적용하는 방법으로, 원하는 α에 맞는 β=3−t/(2s) 를 선택해 β+‑파워‑프리 무한어를 만든다. 그 결과, 모든 위치에 제곱이 존재함을 보인다. 전체적으로 논문은 이진 알파벳에서 α‑파워 회피와 제곱 시작 조건 사이의 임계값을 정확히 7/3으로 규정하고, 그 경계에서 가능한 구조와 불가능한 구조를 명확히 구분한다. 이는 무한어 이론, 반복 패턴 연구, 그리고 형식 언어의 복잡도 분석에 중요한 기여를 한다.