자연수 위에서 제곱과 겹침을 피하는 사전순 최소 무한 단어의 생성법

초록

본 논문은 자연수 알파벳 위에서 제곱(aa)과 겹침(axaxa)을 피하는 무한 단어를 탐구한다. 제곱을 피할 경우, 그리디 알고리즘이 생성하는 사전순 최소 단어는 0,1,0,2,0,1,0,3,… 로 나타나는 ‘룰러 함수’이며, 균일한 형태소 반복으로 기술된다. 겹침을 피하는 경우는 훨씬 복잡한데, 저자들은 명시적으로 정의된 형태소 φ:ℕ*→ℕ*를 제시하고, 이를 반복함으로써 사전순 최소 겹침‑없는 무한 단어를 얻는다. 또한, 임의의 시작 문자 h와 끝 문자 k (h≤k)에 대해 φ^{k‑h}(h)가 해당 조건을 만족하는 사전순 최소 단어임을 증명하고, 그 대칭성 및 구조적 특성을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 자연수 집합 ℕ을 알파벳으로 삼아, 문자열이 제곱(두 번 연속 동일 블록)이나 겹침(axaxa 형태)을 포함하지 않도록 하는 문제를 정의한다. 제곱 회피는 오래전부터 연구된 주제로, 특히 0,1,2,… 로 표시되는 자연수 인덱스의 가장 낮은 비트가 1인 위치를 나타내는 ‘룰러 함수’가 사전순 최소 제곱‑없는 무한 단어임이 알려져 있다. 저자들은 이 사실을 그리디 알고리즘—각 단계에서 가능한 가장 작은 정수를 선택하는 방법—과 연결시켜, 해당 알고리즘이 정확히 동일한 순서를 생성함을 증명한다. 더 나아가, 이 단어가 균일 형태소 μ defined by μ(i)=i 0 (i+1) (i∈ℕ) 를 반복 적용함으로써 얻어지는 고정점임을 보인다.

반면 겹침 회피는 훨씬 까다롭다. 겹침은 “axaxa” 형태로, a와 x가 임의의(가능하면 비어 있지 않은) 문자열일 때 발생한다. 기존의 이진 알파벳 위에서의 겹침‑없는 단어(예: Thue‑Morse)와 달리, 무한히 많은 문자(ℕ)를 허용하면 사전순 최소성을 유지하면서도 겹침을 완전히 배제하는 구조를 찾기가 어려워진다. 이를 해결하기 위해 저자들은 φ라는 명시적 형태소를 설계한다. φ는 각 자연수 n에 대해 φ(n)=n 0 (n+1) 0 … 0 (k) 형태의 문자열을 반환하며, 여기서 0은 특별히 정의된 ‘구분자’ 역할을 한다. φ는 비균일하지만, φ를 반복 적용하면 φ^{t}(h) 형태의 단어가 점차 길어지면서도 언제든지 겹침을 만들지 않는다.

핵심 정리는 다음과 같다. 임의의 h,k∈ℕ, h≤k에 대해 φ^{k‑h}(h)는 시작이 h이고 끝이 k인 모든 겹침‑없는 문자열 중 사전순으로 가장 앞선다. 이는 φ가 ‘최소 확장’ 성질을 갖고, 각 단계에서 가능한 최소값을 선택하는 그리디 전략과 동등함을 보이는 증명으로 뒷받침된다. 또한, φ^{k‑h}(h)와 φ^{k‑h}(k) 사이에는 대칭성이 존재함을 보여, φ가 정의된 방식이 자연수 순서와 반전(역순) 모두에 대해 일관된 구조를 유지함을 확인한다.

논문은 마지막으로 φ가 생성하는 무한 단어 w=lim_{t→∞}φ^{t}(0)의 여러 메트릭(예: 문자 빈도, 구간 길이 성장률)과, 기존의 겹침‑없는 무한 단어와의 비교를 제공한다. w는 각 자연수 n이 무한히 자주 등장하지만, 그 등장 간격은 로그‑선형적으로 증가한다는 점에서 흥미롭다. 또한, φ가 정의된 재귀적 규칙은 자동화된 검증(예: 전산 증명)에도 적합하도록 설계되어, 향후 더 일반적인 알파벳이나 다른 회피 패턴(예: 3‑제곱, 4‑중복)에도 확장 가능성을 시사한다.