멋진 거듭제곱 합 공식

초록

본 논문은 자연수 n과 지수 p에 대해 1⁽ᵖ⁾+2⁽ᵖ⁾+⋯+n⁽ᵖ⁾을 n의 차수가 p+1인 다항식으로 표현하는 파울하버(Faulhaber) 공식의 계수를 효율적으로 구하는 재귀 알고리즘을 제시한다. 적분을 이용한 새로운 재귀 관계를 도출하고, 이를 통해 계수 계산 과정을 단순화하며, 알고리즘의 정확성을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 파울하버 공식이 “∑{k=1}^{n}k^{p}=a{p+1}n^{p+1}+a_{p}n^{p}+⋯+a_{1}n” 형태의 다항식임을 상기한다. 기존에는 베르누이 수와 스터링 수를 이용해 계수를 구했지만, 계산 과정이 복잡하고 전처리 비용이 크게 든다. 저자는 이를 극복하기 위해 연속적인 적분 연산을 활용한다. 구체적으로, (p+1)차 다항식 F_{p+1}(n)=∑{k=1}^{n}k^{p+1}을 n에 대해 적분하면 ∫₀^{n}F{p}(x)dx와 동일함을 보이며, 여기서 F_{p}(x)는 p차 파울하버 다항식이다. 이 관계식은 “F_{p+1}(n)=\frac{1}{p+1}\big