이방성 고체 계면에서 동적 반면 슬라이딩 안정성 분석

초록

본 논문은 평면 대칭성을 갖는 두 이방성 선형 탄성체 사이의 반면(anti‑plane) 미끄럼을 대상으로, 레이트‑앤드‑스테이트 마찰법칙을 적용한 동적 안정성을 조사한다. 파수 k 형태의 공간 교란에 대해 임계 파수 |k|₍cr₎와 중성 모드의 위상 속도 c를 도출하고, 다양한 이방성·이질 재료 조합에 대한 수치 결과를 제시한다.

상세 분석

본 연구는 x₂=0 평면을 계면으로 하는 두 반무한 이방성 탄성체(위쪽을 물질 #1, 아래쪽을 물질 #2) 사이의 반면 전단(슬립이 x₃ 방향) 문제를 다룬다. 두 물질 모두 x₁‑x₂ 평면이 대칭면이라는 가정을 두어, 변위는 오직 u₃만 존재하고 정상응력 σ₂₃는 슬립에 의해 변하지 않는다. 이는 전통적인 이방성 문제에서 발생할 수 있는 복합 변위·응력 결합을 회피하고, 해석을 크게 단순화한다.

탄성 관계는 C₄₄, C₄₅, C₅₅ 세 개의 독립 상수와 밀도 ρ로 기술된다. 변위 교란 u(x₁,x₂,t)에 대해 라플라스 변환(p)과 푸리에 변환(k)를 적용하면, 각 물질에 대해
C₅₅ ∂²u/∂x₁² + 2C₄₅ ∂²u/∂x₁∂x₂ + C₄₄ ∂²u/∂x₂² = ρ p² u
이라는 2차 편미분 방정식을 얻는다. 이를 지수형 해 e^{αx₂} 로 가정하면 α는
α² C₄₄ + 2ikC₄₅ α − (ρp² + C₅₅k²)=0
을 만족한다. 유한성을 고려해 선택된 근은
α = −ik C₄₅ − k √(C₄₄C₅₅ − C₄₅² + C₄₄ρp²/k²) / C₄₄ .

이때 유효 전단계수 μ ≡ C₄₄C₅₅ − C₄₅² 와 전단파 속도 c₁ ≡ μ/√(C₄₄ρ) 를 도입하면, 전단응력 교란 T(k,p)와 변위 교란 U(k,p) 사이의 관계는
T̂ = −μ|k| (1 + p²/(k²c₁²)) Û
와 같은 형태가 된다. 물질 #2에 대해서도 동일한 식이 μ′, c₁′ 로 정의된다.

계면에서 연속성 조건(전단응력 연속)과 슬립 정의 D(k,t)=U⁺−U⁻ 를 결합하면, 슬립 속도 교란 V−V₀ = ∂D/∂t 와 전단응력 교란 T̂ 사이에
T̂ = −|k|