유한집합 공간의 가산곱과 연속함수 공간의 완전 분류

초록

본 논문은 비가산 집합 I에 대해 크기가 n 이하인 부분집합들의 집합 σₙ(I)를 고려하고, 이들의 가산 직곱 ∏ₖσ_{n_k}(I)에서 연속함수 공간 C(K)의 Banach 구조를 완전히 분류한다. 또한 위 공간들의 위상동형성에 대한 부분적인 결과를 제시한다.

상세 분석

σₙ(I)는 “크기가 n 이하인 I의 부분집합”을 원소로 하는 집합이며, 자연스럽게 집합‑이론적 거리 d(A,B)=|A△B|를 이용해 0‑차원, 완비, 콤팩트한 토폴로지를 갖는다. 특히 σₙ(I)는 산란(compact scattered) 공간이며, 산란 높이는 n+1이다. 이러한 특성 때문에 C(σₙ(I))는 전형적인 산란 콤팩트 공간의 연속함수 Banach 공간으로서, Rosenthal의 ℓ₁‑정리와 Pełczyński‑Kadec‑Pełczyński 이론을 적용할 수 있다.

논문은 먼저 단일 σₙ(I)의 경우를 분석한다. 주요 결과는 |I|=κ(≥ℵ₁)일 때 C(σₙ(I))는 Banach 동형으로
\