비정상 랜덤계수 자기회귀 모델 추정 연구

초록

본 논문은 비정상(random coefficient) 자기회귀(RCA) 모델에서 파라미터 추정 방법을 검토한다. 준최대우도법(QMLE)으로는 혁신분산(innovation variance) 파라미터를 일관적으로 추정할 수 없음을 보이고, 나머지 계수들에 대해서는 QMLE가 점근적 정규성을 만족함을 증명한다. 따라서 전통적인 단위근(unit root) 문제는 RCA 모델에서는 발생하지 않는다.

상세 분석

본 연구는 랜덤계수 자기회귀(RCA) 모델 (X_t=\phi_t X_{t-1}+ \varepsilon_t) 에 대해, 특히 (|\phi_t|)의 평균이 1에 가까워 비정상(non‑stationary) 상황을 다룬다. 기존 문헌에서는 고정계수 AR(1) 모델에서 단위근이 존재하면 추정량의 분포가 비정규적이며, 혁신분산 추정이 어려운 것으로 알려져 있다. 그러나 RCA 모델에서는 계수가 매 시점마다 확률적으로 변하므로, 평균적으로는 “단위근” 효과가 상쇄될 가능성이 있다. 저자들은 먼저 QMLE를 적용했을 때 로그우도함수의 2차 미분(정보행렬)이 혁신분산에 대한 정보를 제공하지 못함을 수학적으로 증명한다. 이는 (\varepsilon_t)가 독립이고 정규분포를 가정하더라도, (\phi_t)의 랜덤성 때문에 (\sigma^2_{\varepsilon})에 대한 식별식이 사라지는 결과이다. 따라서 QMLE는 (\sigma^2_{\varepsilon})를 일관적으로 추정할 수 없으며, 다른 방법(예: 모멘트 기반 추정)이나 추가적인 구조적 가정이 필요함을 시사한다.

반면, (\phi_t)의 평균 (\mu_{\phi})와 분산 (\sigma^2_{\phi}) 같은 1차·2차 모멘트 파라미터에 대해서는 QMLE가 정상적인 점근적 성질을 유지한다. 저자들은 강한 법칙(Law of Large Numbers)과 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 활용해, 추정량 (\hat\theta=(\hat\mu_{\phi},\hat\sigma^2_{\phi}))가 (\sqrt{n})수렴률로 정규분포에 수렴함을 증명한다. 특히, 비정상성에도 불구하고 (\phi_t)의 평균이 1에 수렴하더라도, 랜덤계수 구조가 “효과적인” 안정성을 제공해 단위근 문제를 회피한다는 점이 핵심이다.

이러한 결과는 실증연구에서 RCA 모델을 적용할 때, 혁신분산을 별도로 추정하거나 사전 정보를 활용해야 함을 강조한다. 또한, 전통적인 단위근 검정이 RCA 모델에서는 의미가 없으며, 대신 (\phi_t)의 분포 특성을 직접 검증하는 접근이 필요함을 시사한다.