카사미‑웰치 함수 기반 순환 코드와 이진 m‑시퀀스의 상관분포 연구

초록

본 논문은 $q=2^{n}$, $0\le k\le n-1$, $k\neq n/2$인 경우에 두 종류의 지수합
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상세 분석

논문은 먼저 $2$‑진 체 $\mathbb F_{2^{n}}$ 위에서 정의된 Kasami‑Welch 형태의 다항식 $f_{\alpha,\beta}(x)=\alpha x^{2^{3k}+1}+\beta x^{2^{k}+1}$ 를 고려한다. 여기서 $\operatorname{Tr}{1}^{n}$ 은 표준 트레이스이며, 지수합 $S(\alpha,\beta)=\sum{x\in\mathbb F_{q}}(-1)^{\operatorname{Tr}{1}^{n}(f{\alpha,\beta}(x))}$ 를 정의한다. $k\neq n/2$ 라는 가정은 $2^{k}+1$ 와 $2^{3k}+1$ 이 서로 다른 지수를 갖게 하여, 다항식이 비자명한 비선형성을 유지하도록 만든다.

저자들은 $S(\alpha,\beta)$ 가 가질 수 있는 가능한 값들을 완전히 분류한다. 핵심 아이디어는 $f_{\alpha,\beta}(x)$ 를 $x$ 에 대한 아핀 변환으로 바꾸어, 그 고정점 구조와 곱셈 군의 순환성을 이용하는 것이다. 특히, $x\mapsto x^{2^{k}}$ 와 $x\mapsto x^{2^{3k}}$ 가 서로 교환하지 않음에도 불구하고, 두 지수의 공배수인 $2^{4k}$ 를 활용해 $x^{2^{4k}}=x$ 를 만족하는 부분체 $\mathbb F_{2^{\gcd(n,4k)}}$ 를 찾아낸다. 이를 통해 $S(\alpha,\beta)$ 를 $\mathbb F_{2^{\gcd(n,4k)}}$ 위의 가우스 합으로 환원하고, 가우스 합의 절대값이 $\sqrt{q}$ 혹은 $2\sqrt{q}$ 로 제한되는 사실을 이용해 값 분포를 도출한다.

두 번째 지수합 $T(\alpha,\beta,\gamma)=\sum_{x\in\mathbb F_{q}}(-1)^{\operatorname{Tr}{1}^{n}(\alpha x^{2^{3k}+1}+\beta x^{2^{k}+1}+\gamma x)}$ 에 대해서는 $\gamma$ 가 선형항을 추가함으로써 $S(\alpha,\beta)$ 의 값이 $0$ 혹은 $\pm\sqrt{q}$ 로 변하는 경우를 세밀히 분석한다. 여기서는 $\gamma$ 가 $f{\alpha,\beta}$ 의 차분함수와 어떻게 상호작용하는지를 조사하고, 차분함수의 영점 개수에 따라 $T$ 가 $0$, $\pm\sqrt{q}$, $\pm2\sqrt{q}$ 중 하나가 됨을 증명한다.

이러한 지수합 값 분포는 바로 순환 코드 $\mathcal C_{1}$, $\mathcal C_{2}$ 의 가중치 분포와 연결된다. $h_{1}(x)$, $h_{2}(x)$, $h_{3}(x)$ 를 각각 $\pi^{-1}$, $\pi^{-(2^{k}+1)}$, $\pi^{-(2^{3k}+1)}$ 의 최소다항식이라 할 때, $\mathcal C_{1}$ 은 $h_{2}h_{3}$ 로 정의되고, $\mathcal C_{2}$ 은 $h_{1}h_{2}h_{3}$ 로 정의된다. 코드워드의 가중치는 바로 위에서 구한 지수합의 부호와 일대일 대응한다. 따라서 $S$ 와 $T$ 의 값 분포를 이용해 두 코드의 전체 가중치 분포를 정확히 구할 수 있다. 특히, $\mathcal C_{1}$ 은 3‑중 가중치 코드를, $\mathcal C_{2}$ 는 5‑중 가중치 코드를 형성함을 확인한다.

마지막으로, 이들 코드와 연관된 이진 m‑시퀀스 집합을 구성하고, 서로 다른 시퀀스 사이의 상관값을 $S$ 와 $T$ 로 표현한다. 결과적으로, 상관값은 $-1$, $-1\pm2^{(n+1)/2}$, $-1\pm2^{(n+3)/2}$ 등 몇 가지 정수값만을 취함을 보이며, 이는 기존에 알려진 Kasami 시퀀스와 유사하지만, $k$ 가 $n/2$ 가 아닌 경우에 새로운 상관분포를 제공한다는 점에서 의미가 크다.

전체적으로, 저자들은 고전적인 Kasami‑Welch 함수에 $2^{3k}+1$ 와 $2^{k}+1$ 라는 두 비선형 지수를 동시에 도입함으로써, 기존 연구에서는 다루지 못했던 복합적인 지수합과 그에 따른 코드·시퀀스 특성을 체계적으로 밝혀냈다.