도미노 열차 개수 세기

초록

이 논문은 주어진 도미노 조각 집합으로 만들 수 있는 모든 가능한 열차(연속적인 도미노 배열)의 개수를 계산하는 방법을 제시한다. 그래프 이론과 행렬식 전개를 이용해 도미노를 무방향 그래프의 간선으로 모델링하고, 그에 대응하는 라플라시안 행렬의 특성을 활용해 오일러 경로의 총수와 시작·끝 정점을 동시에 구한다.

상세 분석

논문은 먼저 도미노 조각을 무방향 그래프의 간선으로 보는 자연스러운 모델링을 제안한다. 각 도미노는 두 숫자 a와 b를 가지고 있으며, 이를 정점 a와 b 사이의 간선으로 대응시킨다. 이렇게 구성된 그래프는 다중그래프가 될 수 있는데, 이는 동일한 숫자 쌍을 가진 도미노가 여러 개 존재할 경우를 반영한다. 열차는 도미노를 일렬로 이어 붙이는 과정이며, 이는 그래프에서 각 간선을 한 번씩만 사용하면서 연속적인 경로를 만드는 것과 동등하다. 따라서 열차의 개수는 그래프의 오일러 경로(또는 오일러 트레일)의 개수와 일치한다.

오일러 경로의 존재 조건은 그래프의 차수가 짝수인 정점이 전체 정점 수에서 최대 두 개까지 허용된다는 고전적인 정리와 일치한다. 논문은 이 조건을 도미노 집합에 직접 적용하여 시작점과 끝점이 될 수 있는 숫자를 미리 판별한다. 그 다음, 라플라시안 행렬 L을 구성하고, 코팩스 행렬식(cofactor)인 τ(G)=det(L*)를 이용해 연결된 그래프의 스패닝 트리 개수를 구한다는 Kirchhoff의 정리를 활용한다.

핵심 아이디어는 오일러 경로의 수를 스패닝 트리 개수와 연결된 정점들의 차수 정보를 결합해 계산한다는 점이다. 구체적으로, 각 정점 v의 차수를 d(v)라 할 때, 오일러 경로의 총수는

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