준비타 코드의 약한 등거리와 등가성 연구

본 논문은 “약한 등거리(weakly isometric)”라는 개념을 중심으로, 비선형 이진 코드인 준비타 코드와 그 펑크처드(좌표 하나를 삭제한) 버전에 대한 동형성 문제를 다룬다. 먼저, 코드 \(C\)의 최소 거리 \(d\)를 기준으로 두 코드 \(C_1, C_2\)가 약하게 등거리라는 정의를 제시한다. 이는 모든 코드워드 쌍 \((x,y)\)에 대해 \(d(x,y)=d\)인 경우와 \(d(J(x),J(y))=d\)인 경우가 동치인 매핑 \(J:C_1\to C_2\)가 존재함을 의미한다. 이 정의는 즉시 두 코드의 최소 거리 그래프(minimal distance graph)가 동형이라는 사실과 동치임을 보여준다. 연구 배경으로, Avgustinovich가 1‑완전 코드와 그 확장 코드에 대해 약한 등거리와 등가가 동치임을 증명한 결과를 인용한다. 저자는 이를 비선형 코드인 준비타 코드에 적용하고자 한다. 준비타 코드는 길이 \(n=2^m\) (짝수 \(m\ge4\))에서 최소 거리 5를 갖는 비선형 코드이며, 펑크처드 준비타 코드는 한 좌표를 삭제한 형태이다. 두 코드 모두 거리 불변성(strong distance invariance)과 거리 변이성(distance invariance)이라는 강한 구조적 특성을 가지고 있다. 특히, 최소 가중치 코드워드들의 집합이 \((\lambda,n,k,t)\)-디자인을 형성한다는 점이 핵심이다. 논문은 먼저 펑크처드 준비타 코드에 대한 일련의 보조 정리를 제시한다. Lemma 1에 따르면, 펑크처드 준비타 코드 \(P_n\)의 무게 5인 코드워드들은 \(\displaystyle 2\!-\!(n,5,\frac{n-3}{3})\)-디자인을 이룬다. 이 디자인 구조는 각 코드워드의 지지집합(support) 사이의 교차 패턴을 엄격히 제한한다. Lemma 2와 Lemma 3은 임의의 코드워드 \(x\)와 그와 거리 5인 인접 코드워드들의 지지집합이 어떻게 겹치는지를 정량화한다. 구체적으로, \(D_{i,i-1}(x), D_{i,i-3}(x), D_{i,i-5}(x)\)와 같은 집합에 속하는 코드워드들은 \(x\)의 지지집합에서 각각 정확히 3, 4, 5개의 0좌표를 공유한다는 사실을 이용해, 그래프의 정점 연결 구조를 세밀히 분석한다. Lemma 4는 위의 집합 크기에 대한 불등식 \