Busemann 공간 이상 경계에서 티츠 기하학의 새로운 이진 관계

본 논문은 비컴팩트하고 적절한 Busemann 공간 \(X\)에 대해, 두 종류의 이상 경계—측지 경계 \(\partial_g X\)와 호오함수 경계 \(\partial_h X\)—를 이용해 티츠 거리의 핵심값 \(\pi\)와 \(\pi/2\)에 대응하는 이진 관계를 정의하고, 이 관계를 통해 CAT(0) 공간에서 알려진 티츠 기하학의 주요 정리를 Busemann 공간에서도 성립시키는 방법을 제시한다. 첫 번째 절에서는 Busemann 공간의 정의와 기본 성질을 정리한다. Busemann 공간은 모든 두 측지선 사이의 거리 함수가 볼록함을 요구하며, 이는 곧 모든 두 점 사이에 유일한 측지선이 존재하고, 공간이 수축적(contractible)임을 의미한다. 이어서 두 가지 이상 경계의 구성을 설명한다. 측지 경계 \(\partial_g X\)는 시작점이 고정된 레이들의 동치류로 정의되며, 콘 토폴로지를 통해 컴팩트화한다. 호오함수 경계 \(\partial_h X\)는 연속 함수 공간 \(C^*(X,\mathbb R)\)에 대한 코시 수열을 이용해 정의되며, 점 \(x\in X\)를 거리 함수 \(d_x\)에 상수 차이를 더한 형태로 임베딩한다. 두 경계 사이에는 연속 사상 \(\pi_{hg}:\partial_h X\to\partial_g X\)가 존재하지만 일반적으로 일대일이 아니며, 정규점(regular point) 개념을 도입해 \(\pi_{hg}^{-1}(\xi)\)가 단일 원소인 경우를 구분한다. 두 번째 절에서는 \(\pi\)와 관련된 이진 관계를 정의한다. 레이 \(c,d\)의 시작점 \(o\)에 대해 \