비선형 변환으로 본 평면 집합의 정다각형 구조

본 논문은 “affinely regular polygon”이라 불리는, 비특이 선형 변환을 통해 얻어지는 정다각형이 특정 평면 집합 Λ에 존재하는 조건을 대수적 관점에서 완전히 규명한다. 연구는 크게 네 부분으로 전개된다. 첫 번째 부분에서는 기본 정의와 전제 조건을 소개한다. 자연수 N, 소수 집합 P, 그리고 복소수 절대값·단위 원 등 기본 기호를 정의하고, ‘uniformly discrete’, ‘relatively dense’, ‘Delone set’ 등 평면 집합의 밀도와 이산성을 설명한다. 또한, ‘U‑polygon’, ‘convex subset’, ‘affine transformation’ 등을 정의하여 이후 논의에 필요한 기하학적·대수학적 개념을 정리한다. 두 번째 부분에서는 cyclotomic field와 그 실수 부분체에 관한 기본 사실을 제시한다. ζ_n=e^{2πi/n}을 원시 n차 단위근이라 하고, K_n=ℚ(ζ_n), k_n=ℚ(ζ_n+ζ_n̄)라 두며, φ(n)이 차수임을 상기한다. 주요 정리로는