빔 선택 이득과 안테나 선택 이득의 비교

본 연구는 다중 안테나를 장착한 기지국에서 하나의 RF 체인만을 사용하면서도 빔 선택을 구현할 수 있는 고정 빔포밍 네트워크(FBN), 특히 Butler 매트릭스를 이용한 시스템을 분석한다. 기존 안테나 선택 방식은 가장 큰 SNR을 갖는 안테나 하나만을 선택해 전송하지만, 빔 선택은 Butler 매트릭스가 미리 정의한 M개의 정규 직교 빔을 생성하고 그 중 가장 높은 SNR을 보이는 빔을 선택한다. 채널 모델은 Rician 페이딩으로, LOS 성분 h_L 과 NLOS 성분 h_N 으로 구성된다. h_L 은 사용자의 방위각 θ 에 따라 위상만 변하는 결정적 벡터이며, h_N 은 평균 0, 분산 1인 복소 가우시안 백색 잡음이다. 전체 채널 벡터는 h = √(K/(K+1)) h_L + √(1/(K+1)) h_N 로 표현되며, K는 Rician K‑factor 로 LOS와 NLOS 전력 비율을 나타낸다. 각 빔 포트 m에 대한 SNR 이득은 Γ_m = |b_m^T h|^2 로 정의된다. 여기서 b_m 은 Butler 매트릭스의 m번째 행이며, 그 절댓값 제곱은 자유도 2, 비중심 파라미터 δ = 2Kγ_m 인 비중심 χ² 분포를 따른다. γ_m 은 순수 LOS 상황( K→∞ )에서의 빔 이득이며, γ_m = (M, if φ_m=2πn) 혹은 (M sin²(Mφ_m/2) / sin²(φ_m/2), otherwise) 로 주어진다. γ_m 은 방위각 θ 에 따라 변하고, 전체 빔 패턴 {γ_m} 은 합이 M, 각 γ_m 은 0≤γ_m≤M 을 만족한다. 논문은 먼저 비중심 χ² 분포의 CDF 로그가 비중심 파라미터 δ에 대해 엄격히 감소하고 볼록함을 정리 1로 증명한다. 이를 이용해 빔 선택 이득 Γ(M)=max_m Γ_m 의 CDF F_M(x)=∏_{m=1}^M F_{χ′²}(2(K+1)x|2, 2Kγ_m) 가 θ에 대해 단조적으로 변한다는 정리 2와 코롤러리 3을 도출한다. 즉, θ=0(빔 패턴 최소점)에서 가장 낮은 확률분포, θ=ν(첫 번째 빔 방향)에서 가장 높은 확률분포를 갖는다. 안테나 선택 경우는 Γ_m^A = |h_m|^2 로 정의되며, 그 CDF는 F_{χ′²}(2(K+1)x|2, 2K) 로 동일하지만 γ_m=1 인 경우와 같다. 정리 1의 볼록성에 의해 ∏_{m=1}^M F_{χ′²}(·|2, 2Kγ_m) ≤