ℓ^p 볼의 거시 차원과 ℓ^q 노름 사이의 새로운 관계

본 논문은 Gromov가 도입한 “거시 차원”(Widim) 개념을 ℓ^p-공간의 단위볼에 적용하여, ℓ^q-노름으로 측정했을 때의 차원적 특성을 정량화한다. 먼저, 거리 공간 (X,d)와 위상공간 Y에 대해 ε-임베딩을 정의하고, 이를 통해 최소 차원 n을 Widim_ε(X)라 부른다. ε→0이면 Widim_ε은 일반적인 위상 차원과 일치한다는 점을 상기한다. 연구의 중심 질문은 “1 ≤ p < q ≤ ∞인 경우, ℝⁿ의 ℓ^p-단위볼 B_{ℓ^p}(ℝⁿ)을 ℓ^q-거리 d_{ℓ^q}로 측정했을 때 Widim_ε는 어떻게 행동하는가?”이다. 기존에 p=q인 경우는 ε<1이면 Widim_ε=n이라는 간단한 결과가 알려져 있다. 그러나 p0와 n≥1에 대해 \