무작위 외접 다면체의 평균 너비 수렴 속도와 정밀 추정

초록

임의의 볼록체 K에 대해 K를 포함하는 n개의 독립적인 반공간을 무작위로 선택해 만든 외접 다면체 K⁽ⁿ⁾의 평균 너비와 K의 평균 너비 차이가 n→∞일 때 어떤 차수로 감소하는지를 연구한다. 일반 볼록체에 대해 최적 차수의 상·하한을 제시하고, 특히 단순다면체 P에 대해서는 차이의 정확한 점근식까지 도출한다.

상세 분석

본 논문은 기존에 활발히 연구된 ‘내접’ 무작위 다면체(예: n개의 무작위 점들의 볼록껍질)와는 달리, ‘외접’ 무작위 다면체에 초점을 맞춘다. 여기서 외접 다면체 K⁽ⁿ⁾는 K를 포함하는 n개의 독립적인 폐반공간의 교집합으로 정의되며, 각 반공간은 등방성(isotropic)·균등성(uniformity)을 만족하는 확률분포에 따라 선택된다. 이러한 모델은 포아송 하이퍼플레인 과정(Poisson hyperplane process)과 직접적인 연관이 있으며, 반공간들의 법선 방향이 구면 위에서 균등하게 퍼져 있다는 가정이 핵심이다.

연구의 첫 번째 목표는 평균 너비 W(K)와 W(K⁽ⁿ⁾) 사이의 기대값 차이 Δₙ:=E