Blaschke Santalo와 아핀 등거리 부등식의 안정성

초록

본 논문은 차원 n>2인 볼록체에 대해 Blaschke‑Santaló 부등식과 아핀 등거리 부등식의 안정 버전을 증명한다. 핵심은 먼저 볼록체를 원점 대칭(o‑symmetric)이며 축 회전 대칭을 갖는 형태로 감소시키는 단계이며, 이 과정은 Steiner 대칭과 호환되는 여러 관련 부등식에도 적용된다. 이후 이러한 특수한 볼록체에 대해, 모든 초평면 절단이 중심 대칭이라는 성질이 타원체를 특징짓는 정리를 안정적으로 확장한다. 결과적으로 부등식의 등호 경우에 가까울수록 원점 대칭 타원체에 근접함을 정량적으로 제시한다.

상세 분석

논문은 두 개의 고전적인 불변량 부등식, 즉 Blaschke‑Santaló 부등식과 아핀 등거리 부등식에 대한 “안정성”을 다룬다. 여기서 안정성은 부등식의 양변이 거의 동일할 때, 해당 볼록체가 등호 경우인 타원체와 얼마나 가까운지를 정량적으로 측정하는 개념이다. 기존 연구들은 등호 경우를 완전히 특성화했지만, 근사적인 경우에 대한 정밀한 거리 추정은 부족했다.

첫 번째 단계는 일반적인 볼록체 K를 원점 대칭(o‑symmetric)이며 한 축을 중심으로 회전 대칭을 갖는 형태 K̂ 로 변환하는 과정이다. 이 변환은 연속적인 Steiner 대칭과 회전 대칭을 교대로 적용함으로써 이루어지며, 각 단계에서 부등식의 양변이 감소하지 않음을 보인다. 중요한 점은 이 과정이 부등식에 “호환”된다는 것으로, 즉 Steiner 대칭이 적용되어도 Blaschke‑Santaló 부등식과 아핀 등거리 부등식의 양변은 비증가한다는 사실이다. 따라서 최종적으로 얻은 K̂ 은 원점 대칭과 축 회전 대칭이라는 두 가지 강한 대칭성을 동시에 만족한다.

두 번째 단계에서는 이러한 대칭성을 가진 볼록체에 대해 “각 초평면 절단이 중심 대칭이다”는 성질이 타원체를 특징짓는 고전적인 정리를 이용한다. 원래 정리는 “모든 초평면 절단이 중심 대칭이면 K는 타원체이다”라는 전형적인 판정이다. 논문은 이를 안정적인 형태로 강화한다. 구체적으로, 초평면 절단이 거의 중심 대칭일 때(즉, 대칭성 정도를 측정하는 지표가 작을 때) K는 타원체와 Hausdorff 거리 혹은 Banach–Mazur 거리에서 작은 오차를 가진다. 이를 위해 저자는 정밀한 체적 비교와 곡률 함수의 L²‑노름 추정을 결합한 새로운 기술을 도입한다.

핵심적인 정량적 결과는 다음과 같다. 만일
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