다중목표 최대 TSP 근사 알고리즘의 새로운 경계

1. 서론에서는 여행 판매원 문제(TSP)의 최대 가중치 버전(Max‑TSP)을 소개하고, 대칭(Undirected)과 비대칭(Directed) 두 형태를 구분한다. Max‑STSP와 Max‑ATSP는 각각 NP‑hard이며, 현재 알려진 단일목표 근사 비율은 61/81, 2/3 정도이다. 다중목표 최적화에서는 파레토 곡선이 최적 해의 일반화 개념으로 사용되지만, 정확히 계산하기는 지수적 복잡도와 NP‑hardness 때문에 근사 파레토 곡선을 목표로 한다. 2. 다중목표 최적화 모델을 수학적으로 정의한다. 인스턴스 I, 해 집합 sol(X), k개의 목적함수 w₁,…,w_k가 주어지고, 해 Y가 Z를 지배한다면 모든 i에 대해 w_i(Y) ≥ w_i(Z)이며 적어도 하나는 엄격히 크다. α‑근사 파레토 곡선은 모든 가능한 해 Z에 대해 어떤 Y∈P가 w(Y) ≥ α·w(Z) 를 만족하도록 한다. 3. 기존 연구를 정리하면서, 다중목표 최소 가중치 매칭과 사이클 커버에 대한 무작위 FPTAS가 존재함을 언급한다. 이 결과를 바탕으로 다중목표 Max‑TSP에 대한 근사 알고리즘 설계가 가능함을 제시한다. 4. 핵심 기법인 ‘분해(Decomposition)’를 소개한다. 사이클 커버 C가 주어지면, α‑분해는 C의 모든 간선이 전체 가중치의 α배 이하일 때, 일부 간선을 제거해 경로 집합 P를 만들고 w(P) ≥ α·w(C) 를 보장한다. 무방향 그래프에서는 α_u₁=2/3, 방향 그래프에서는 α_d₁=1/2가 기본값이며, 이를 k에 대해 일반화한다. 5. 무방향 경우 α_u_k ≥ 1/k 를 증명한다. 사이클을 길이 3으로 정규화하고, 각 사이클에서 무작위로 하나의 간선을 제거한다. Hoeffding 부등식을 이용해 모든 목적함수 i에 대해 w_i(P) ≥ 1 가 될 확률이 1−p_k이며, p_k < 1/k for k≥4. k=2,3에 대해서는 구성적 논증을 통해 α_u₂ ≥ 1/2, α_u₃ ≥ 1/3을 얻는다. 6. 방향 경우 α_d_k ≥ 1/(k+1) 를 증명한다. 사이클을 길이 2로 정규화하고, 각 사이클에서 무작위로 하나의 간선을 선택한다. 전체 가중치를 k+1 로 스케일링하고, Hoeffding 부등식으로 성공 확률을 구한다. k≥6에서 바로 1/(k+1) 가 보장되고, k=2…5에 대해서는 추가 구성적 절차를 통해 동일한 하한을 얻는다. 7. 알고리즘 설계: a) 입력 그래프에 대해 최대 가중치 사이클 커버를 구한다(매칭 기반 다항시간 알고리즘). b) 각 사이클에 대해 ‘가벼운 간선’인지 ‘무거운 간선’인지 판단한다. c) 가벼운 경우, 앞서 증명한 α‑분해를 적용해 경로 집합을 만든 뒤, 경로들을 연결해 해밀턴 사이클을 만든다. 이때 얻는 비율은 α_u_k 혹은 α_d_k 와 동일. d) 무거운 경우, 해당 간선을 선택하고 남은 k‑1 목적함수에 대해 재귀적으로 동일 절차를 수행한다. 재귀 깊이는 k이며, 각 단계마다 α‑분해 비율이 곱해진다. e) 최종적으로 얻는 근사 비율은 1/k‑ε (대칭) 혹은 1/(k+1)‑ε (비대칭)이며, ε>0는 알고리즘 파라미터에 의해 arbitrarily 작게 만들 수 있다. 8. 무작위성 및 성공 확률: 각 단계의 무작위 선택은 독립이며, 성공 확률이 최소 1/2이다. 여러 번 실행해 결과를 합치면 성공 확률을 1−2^{−m} 로 증폭할 수 있다. 9. 시간 복잡도 분석: 사이클 커버 계산은 O(n³) 정도의 다항시간, α‑분해는 각 사이클당 O(1) 연산, 재귀 호출은 k 단계이므로 전체 복잡도는 O(poly(n,1/ε)·k·2^k) 정도이며, k가 상수일 경우 실용적이다. 10. 결론에서는 본 연구가 다중목표 Max‑TSP에 대한 최초의 근사 알고리즘을 제공함을 강조하고, α‑분해와 차원 감소 기법이 다른 다중목표 순환 문제(예: 다중목표 라우팅, 차량 배차)에도 확장 가능함을 제시한다. 또한 현재 비율이 이론적으로 최적에 가깝지만, k가 커질수록 비율이 급격히 감소하므로, 더 나은 비율을 위한 구조적 분석이나 새로운 기법이 필요함을 언급한다.