다중기준 의사결정을 위한 구간 척도와 차이 척도에 기반한 Choquet 적분 모델

초록

본 논문은 각 속성에 대한 차이 척도와 속성 간 상호작용 정보를 이용해 의사결정자의 선호를 모델링한다. 직관적 측정 조건과 일관성 가정을 통해 가능한 집계 연산자를 제한하고, 그 결과 유일하게 남는 연산자가 Choquet 적분임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 다중기준 의사결정(MCDM)에서 전반적인 효용 함수 u(x)=F(u₁(x₁),…,uₙ(xₙ))를 두 단계로 분리한다는 전통적 접근을 검토한다. 기존의 MacBeth 방법은 각 기준에 대해 차이 척도(uᵢ)를 정의하고, 이를 가중합 형태의 집계 함수와 결합한다. 그러나 가중합은 기준 간 상호작용을 반영하지 못한다는 한계가 있다. 저자들은 이 한계를 극복하기 위해 두 종류의 정보를 명시한다.

1. Intra‑criterion 정보: 각 기준 i에 대해 최악값 0ᵢ와 최상값 1ᵢ를 절대 기준점으로 설정하고, DM이 (xᵢ,0_{‑i})와 (yᵢ,0_{‑i}) 사이의 만족도 차이를 정량화하도록 요구한다. 이를 통해 uᵢ는 차이 척도이며, (Intra‑a)~(Intra‑d) 조건을 통해 스케일의 일관성(비례·이동 변환에 대한 불변성)을 보장한다.

2. Inter‑criterion 정보: 모든 부분집합 A⊆N에 대해 대안 (1_A,0_{‑A})와 (0_N) 사이의 만족도 차이를 측정해 집합 함수 µ(A)를 정의한다. µ는 모노톤성, 비례 차이(Inter‑a, Inter‑b) 및 경계값 µ(∅)=0, µ(N)=1(Inter‑c)을 만족한다. 또한 (Inter‑d) 조건으로 차이 비율의 전이성을 확보한다.

이 두 정보는 각각 차이 척도와 비율 척도의 특성을 갖는다. 따라서 전체 효용 u는 “차이 척도 → 비율 척도 → 집계” 흐름으로 모델링될 수 있다. 저자는 측정 조건(Intra‑e)와(Inter‑e)를 도입해, uᵢ와 µ가 동일한 양의 비례·이동 변환(α>0, β∈ℝ) 혹은 스칼라 γ 변환에 대해 선호 관계와 비율 차이가 변하지 않도록 한다.

이러한 일련의 공리와 일관성 가정을 바탕으로, 저자는 Lemma 1을 증명한다. Lemma 1은 임의의 실수 α,β,γ에 대해 F_{γµ}(αa_i+β,…)−F_{γµ}(αb_i+β,…)의 비율이 a_i−b_i와 동일함을 보여, 집계 연산자가 차이 비율을 보존해야 함을 의미한다. 이어서 여러 정규화와 동질성 조건을 적용하면, 유일하게 이러한 성질을 만족하는 연산자는 Choquet 적분이며, µ는 그에 대응하는 퍼지 측도임을 도출한다.

결과적으로, 차이 척도 기반의 intra‑criterion 정보와 집합 함수 µ에 대한 inter‑criterion 정보를 동시에 만족시키는 유일한 집계 모델이 Choquet 적분이라는 강력한 결론에 도달한다. 이는 기존 가중합 모델을 일반화하면서도, DM이 제공할 수 있는 직관적 비교 정보를 최소화한다는 실용적 장점을 제공한다.