무한 유리 관계의 위상 복잡성

초록

이 논문은 무한 단어를 입력·출력으로 하는 부시 전이기( Büchi transducer) 가 인식하는 관계, 즉 무한 유리 관계(infinitary rational relations) 중 일부가 분석적(analytic)이면서도 Borel 집합이 아님을 증명한다. 특히 Σ₁¹‑complete인 관계를 구성해 Simonnet의 질문에 긍정적으로 답한다.

상세 분석

논문은 먼저 무한 유리 관계를 부시 전이기의 성공적 계산으로 정의한다. 입력·출력 모두 무한 ω‑단어이며, 성공 조건은 무한히 많은 순간에 수용 상태에 머무는 것이다. 이러한 관계는 모든 경우에 분석적 집합이지만, Borel 계층에 속하는지는 미지였다. 저자는 무한 이진 트리와 그 경로 집합을 이용해 복잡성을 끌어올린다. 이진 트리 T₍ω₎^Σ 를 Cantor 집합과 동형시켜 위상 공간으로 본 뒤, Π₀²‑complete인 ω‑언어 L (예: (0*·1)^ω )의 경로 집합 Path(L)을 고려한다. Path(L)은 Σ₁¹‑complete이며 Borel이 아니다는 기존 결과를 활용한다. 핵심은 연속 함수 h: T₍ω₎^Σ → ((Σ∪{A})×(Σ∪{A}))^ω 를 정의해 트리를 두 개의 ω‑단어 (σ₁,σ₂) 로 코딩하고, 이 코딩이 특정 부시 전이기 T에 의해 인식되는 관계 R과 정확히 일치하도록 만든다. 여기서 R은 입력·출력 쌍이 위에서 정의한 형태를 만족하고, 중간에 등장하는 x(i)∈Σ 로 이루어진 무한 단어가 L에 속하는 경우에만 허용한다. 따라서 h⁻¹(R)=Path(L) 가 되며, R은 Σ₁¹‑complete이면서 Borel이 아니다. 마지막으로 구체적인 전이기 예시를 제시해 Σ={0,1}, L=(0*·1)^ω 일 때 R을 부시 전이기로 구현함으로써, 실제로 무한 유리 관계가 비 Borel 집합이 될 수 있음을 보인다. 이 결과는 무한 유리 관계의 위상 복잡성에 대한 최초의 완전성 결과이며, 무한 자동 이론과 descriptive set theory 사이의 연결 고리를 강화한다.