명시적 발산을 포함한 분기 동등성의 관계적 특성화

본 논문은 “Branching Bisimilarity with Explicit Divergence”(BBΔ)이라는 행동 동등성 개념을 심도 있게 탐구한다. 먼저, 저자들은 전통적인 분기 동등성 ↔b의 관계적 정의를 재검토한다. 이 정의는 상태 s와 t가 관계 R에 의해 연결될 때, s에서 a‑라벨 전이가 발생하면 t는 τ‑전이(가능하면 여러 번) 후에 동일한 a‑라벨 전이를 수행하고, 중간 상태와 최종 상태가 각각 R에 의해 대응된다는 조건(T)를 만족한다. 이 관계는 대칭이며, 두 상태가 ↔b 관계에 있으면 서로를 시뮬레이션한다는 의미이다. 또한, ↔b는 합성 가능하고, 따라서 동치 관계임이 알려져 있다. 하지만 ↔b는 무한 내부 활동(τ‑루프)인 발산을 무시한다. 예를 들어, 프로세스 P가 τ‑루프를 갖고 다른 행동으로 전이할 수 있더라도, ↔b는 P와 루프가 없는 P′를 동등하게 본다. 이는 “eventually”와 같은 시제 연산자를 포함하는 논리와 호환되지 않는다. 이를 보완하기 위해 명시적 발산을 고려한 BBΔ를 도입한다. BBΔ의 관계적 정의는 기존 조건(T)에 추가로 발산 조건(D)를 부과한다. D는 s와 t가 R에 의해 연결되어 있고, s에서 무한히 τ‑전이하면서 매 단계마다 t와 관계가 유지될 경우, t 역시 무한히 τ‑전이하면서 모든 s‑단계와 관계를 유지해야 함을 요구한다. 이 조건은 발산을 “동기화”시켜, 한쪽에서 무한 내부 활동이 일어나면 다른 쪽에서도 대응되는 무한 내부 활동이 존재함을 보장한다. 하지만 D는 합성에 실패한다는 문제가 있다. 저자들은 이를 해결하기 위해 D를 단계적으로 약화한다. 먼저 D를 등가적으로 재표현한 D0는 “t가 단일 τ‑전이로 도달 가능한 상태 t′가 존재하고, 모든 s‑발산 단계가 t′와 관계를 맺는다”는 형태로 바꾼다. D0는 D를 귀납적으로 재구성할 수 있음을 보인다. 이어서 D0의 불필요한 전량을 제거해 D1을 정의한다. D1은 “t가 τ‑후계 t′를 가지고, 그 t′가 s‑발산 중 적어도 하나와 관계를 맺는다”는 조건이다. D1은 여전히 합성에 실패하지만, 이를 다시 변형해 합성 가능하면서도 발산 감지를 충분히 보장하는 새로운 조건을 도출한다. 최종적으로 제시된 관계는 (T)와 변형된 발산 조건을 동시에 만족하며, 이를 만족하는 관계 R는 합성 가능하고 대칭이며, 따라서 BBΔ는 동치 관계임을 증명한다. 또한, 이 관계는 “stuttering property”(정지성)도 만족한다. 즉, τ‑전이만으로 이루어진 경로를 무시하고도 동등성을 유지한다는 의미이다. 다음으로 색칠(trace) 기반 정의와의 동등성을 검증한다. 색칠 C는 상태들을 등가류로 묶는 관계이며, C‑색칠된 트레이스는 상태와 라벨을 교대로 나열한 뒤, 연속된 τ‑라벨을 축소해 만든다. 색칠이 일관적이면 같은 색을 가진 두 상태는 동일한 C‑색칠 트레이스를 갖는다. 저자들은 BBΔ와 색칠 정의(≡c)가 동일함을 보이며, 이는 기존 논문