표준 논리의 평가 비단조성

이 논문은 “표준 논리는 평가‑비단조적이다”라는 새로운 관점을 제시한다. 저자는 고전 명제 논리와 양자 명제 논리가 각각 Boolean 대수와 정규 직교모듈러 격자(OML)로만 모델링된다는 전통적 시각을 비판하고, 보다 일반적인 격자 구조인 약한 직교모듈러 격자(WOML)와 약한 분배 격자(WDOL)를 도입한다. 1. **배경 및 동기** - 인공신경망과 비단조 논리 연구가 활발하지만, 기존 논리 게이트는 0‑1 평가에 의존한다. - 실제로는 비정규 격자에서도 고전·양자 논리의 공리들을 만족하는 모델이 존재한다. 2. **격자 정의** - **정규 직교모듈러 격자(OML)**: 전통적인 양자 논리 모델, Hilbert 공간과 직접 연결. - **약한 직교모듈러 격자(WOML)**: OML을 포함하지만, OML이 아닌 격자(O6 등)도 포함. - **불 대수(BA)**: 고전 논리의 전통적 모델. - **약한 분배 격자(WDOL)**: BA를 포함하지만, BA가 아닌 격자도 포함. 3. **주요 정리** - **정리 2.11**: OML의 등식 이론을 WOML의 등식으로 매핑함으로써, OML 증명이 WOML에서도 성립함을 보인다. - **완전성 증명**: 고전·양자 명제 논리가 각각 WDOL \ BA와 WOML \ OML에 대해 완전함을 증명한다. 이는 기존의 Lindenbaum‑Algebra 방법을 변형한 새로운 증명 기법을 사용한다. - **음성(소리) 보장**: 기존의 소리 증명은 OML·BA를 포함하므로, 새로운 격자 클래스에서도 그대로 적용 가능함을 확인한다. 4. **평가‑비단조성 정의** - 논리의 정의 조건(예: 격자에 정규성, 분배성 등)을 추가하면 가능한 모델 집합이 축소되고, 이에 따라 진리값 할당도 변한다. - 예시: O6 격자는 WOML에 속하지만 OML이 아니며, 이 격자에서의 원소는 실수 구간