스케일링에 따른 위상 변형을 위한 은하 공간과 수축 변환

본 논문은 “스케일링이 관측 대상의 위상을 바꿀 수 있다”는 현상을 수학적으로 모델링하기 위해 기존 메트릭 구조를 일반화한 ‘은하 공간(galactic space)’이라는 새로운 개념을 제시한다. 이를 위해 먼저 실수체 ℝ 의 순서 보존 확장 K 를 도입한다. K는 유리함수체 ℝ(X), 라우렌트 급수체 ℝ((X)), 초실수 *ℝ 등 다양한 예시를 포함한다. K 안에서는 무한히 작은 원소들의 집합 halo(0)와 제한된 원소들의 집합 galaxy(0) 를 정의하고, 각각을 동치류로 나누어 Hal(K)와 Gal(K) 라는 두 개의 순서가 있는 가법군을 만든다. Hal(K)는 무한소를, Gal(K)는 무한소·유한·무한대를 구분한다. 다음으로, 일반화 거리 δ: F×F→ℝ₊∪{+∞} 를 도입해 기존 메트릭 공간을 ‘일반화 거리 공간’이라 부른다. δ에 의해 정의된 ‘메트릭 컴포넌트’(δ‑볼록 연결 성분)들의 집합 M_F 에 대해 또 다른 거리 Δ: M_F×M_F→Gal(K) 를 정의한다. Δ는 두 컴포넌트 사이의 ‘은하 거리’를 나타내며, 값은 Gal(K) 의 원소이다. 이렇게 (F, δ, Δ) 를 은하 공간이라 정의한다. 은하 공간은 두 단계의 해상도를 가진다: 미세한 단계는 δ가 점들 사이의 관계를, 거친 단계는 Δ가 컴포넌트들 사이의 관계를 기술한다. 핵심 변환인 ‘수축(contraction)’은 양의 은하 원소 λ∈Gal(K)₊*에 대해  δ′(x,y)=λ·δ(x,y), Δ′(C,D)=λ·Δ(C,D) 을 만족하는 자기동형사상이다. λ가 무한소이면 거리 자체가 무한소로 축소되어 위상이 변할 수 있다. 중요한 성질은 두 수축 s₁, s₂의 합성이 λ_{s₁∘s₂}=λ_{s₁}·λ_{s₂} 라는 단순한 곱셈 법칙을 따른다는 점이다. 이는 전통적인 동형 사상이 위상을 보존하는 것과 대비되어, 스케일링에 따른 위상 변형을 자연스럽게 모델링한다. 논문은 또한 모든 기존 메트릭 공간 (E,d) 에 대해 K‑메트릭 공간 (G, d_K) 의 비표준적 확장 *E 와 *d 를 이용해 무한히 많은 은하 공간을 구성한다. 구체적으로, 각 무한소 ε∈K₊*에 대해 (E, d, Δ_ε) 형태의 은하 공간을 만든다. ε→0(무한소) 일 때의 극한을 연구하면, Gromov‑Hausdorff 거리와 유사한 ‘은하‑Gromov 거리’를 정의할 수 있다. 이 극한은 기존 메트릭 공간의 ‘asymptotic cone’과 동등함을 보이며, 수축 연쇄가 위상과 거리 모두를 동시에 수축시키는 과정을 정량화한다. 정리 1에서는 모든 은하 공간이 어떤 K‑메트릭 공간의 ‘은하 투영(galactic projection)’임을 증명한다. 즉, 은하 공간은 K‑값 거리 구조를 가진 공간을 컴포넌트 수준에서 압축한 결과이며, 이는 은하 공간이 실제로는 보다 풍부한 K‑메트릭 구조의 ‘그림자’임을 의미한다. 마지막으로, 논문은 은하 공간과 수축 변환이 기존 거리 이론, 비표준 분석, 그리고 위상 변형 모델링을 통합하는 새로운 프레임워크를 제공한다는 점을 강조한다. 이러한 접근은 이미지 처리, GIS, 공간 분석 등 스케일에 따라 위상이 변하는 실제 응용 분야에 수학적 기반을 제공할 가능성을 제시한다.