전단에 의한 연부 조직 표면 불안정성

초록

본 논문은 비압축성 네오후크 모델을 사용해 고전단 시 고무와 달리 연부 조직 표면이 쉽게 주름을 형성한다는 사실을 밝힌다. 섬유가 포함된 복합 모델을 도입해 섬유 방향과 전단 방향, 그리고 섬유‑기질 강성비(E/μ)에 따라 표면 불안정이 크게 달라짐을 보이며, 섬유에 역행하는 전단일수록 낮은 전단각에서도 주름이 발생한다는 결론을 제시한다.

상세 분석

이 연구는 크게 두 단계로 전개된다. 첫 번째 단계에서는 가장 단순한 비압축성 네오후크(NH) 모델을 적용해 무섬유 고무와 같은 등방성 연성체가 전단에 의해 언제 표면 불안정을 겪는지를 분석한다. 선형화된 소변형 이론과 Stroh 형식을 이용해 표면 파동의 전파 조건을 도출하고, 임계 전단량 γ_c≈3.09(≈72°)에서만 표면 주름이 발생함을 확인한다. 이는 실제 연부 조직이 보이는 현상과 크게 차이가 있음을 시사한다.

두 번째 단계에서는 복합 재료 모델을 도입한다. 기질은 여전히 비압축성 NH 모델을 따르고, 그 안에 한 집합의 평행 섬유가 삽입된다. 섬유는 선형 탄성률 E를 갖으며, 기질의 전단계수 μ와의 비율 E/μ가 핵심 파라미터가 된다. 섬유 방향을 θ_f, 전단 방향을 θ_s(전단면 내)라 두고, 전단 변형 텐서를 일반화된 형태로 표현한다. 이후 동일한 소변형 해석을 수행해 표면 파동의 전이 조건을 얻고, 임계 전단량 γ_c(θ_f,θ_s,E/μ)를 수치적으로 계산한다.

주요 결과는 다음과 같다. (1) 섬유가 전단축과 평행(θ_f≈θ_s)일 때는 기질의 강성을 보강하는 효과가 커져, 임계 전단량이 네오후크 경우보다 크게 증가한다. 즉, 표면이 더 안정한다. (2) 반대로 섬유가 전단축에 수직에 가깝거나 전단에 역행(θ_f≈θ_s+90°)할 경우, 섬유가 전단 변형을 억제하지 못하고 오히려 응력 집중을 유발해 γ_c가 급격히 감소한다. 특히 E/μ가 10~20 수준(실제 연부 조직에서 관찰되는 값)일 때는 전단각 30°~45° 정도에서도 주름이 나타난다. (3) E/μ가 증가할수록 “불안정 영역”인 θ_f와 θ_s의 각도 차이가 넓어져, 섬유가 어느 정도 방향을 가리키든 전단에 대한 민감도가 높아진다.

수학적으로는 표면 파동의 전이 조건이 복소 특성값(λ)의 실수부가 0이 되는 점으로 정의되며, 섬유의 강성은 이 λ에 비선형적으로 기여한다. 특히, 섬유가 전단에 역행할 때는 λ의 실수부가 음수로 전이해, 즉시 불안정이 발생한다. 이러한 현상은 기존의 등방성 모델이 놓친 비등방성 강성의 “방향성 약화” 메커니즘을 명확히 보여준다.

임상·생체공학적 함의도 크다. 조직 절제·재건 시 전단 변형이 발생하는 부위에서 섬유 배향을 고려하지 않으면, 예상보다 낮은 변형에서도 표면 주름이나 손상이 일어날 수 있다. 또한, 인공 연부 조직(예: 바이오프린팅) 설계 시 섬유‑기질 강성비와 배향을 조절함으로써 원하는 전단 안정성을 구현할 수 있다.