호흐시드 동시대와 지원 다양성: 영원성의 한계와 새로운 통찰

본 설문 논문은 2008년 시즈오카 대학에서 발표된 강연을 바탕으로, 호흐시드 코호몰로지를 이용한 지원 다양성 이론과 그와 관련된 Hochschild cohomology ring modulo nilpotence, 즉 HH⁎(Λ)/N 의 구조적 특성을 포괄적으로 정리한다. 1. **서론 및 기본 정의** 저자는 Λ를 대수적으로 폐쇄된 체 K 위의 유한 차원, indecomposable algebra 로 두고, 그 enveloping algebra Λᵉ=Λ^{op}⊗_KΛ 를 이용해 HH⁎(Λ)=Ext⁎_{Λᵉ}(Λ,Λ) 를 정의한다. HH⁰(Λ)=Z(Λ), HH¹(Λ) 은 내부 미분을 나눈 외부 미분, HH²(Λ) 은 변형 이론을 담당한다는 전통적인 설명을 제공한다. 또한 HH⁎(Λ) 은 graded commutative 이므로, 차수가 홀수인 원소는 제곱이 0이며, 영원 원소 이상 N을 생성하는 동차 영원 원소들을 모아 N을 정의한다. 2. **지원 다양성의 정의와 기본 성질** Snashall‑Solberg(2004)의 정의에 따라, 유한 생성 Λ‑모듈 M 에 대해 지원 다양성 V_{HH⁎(Λ)}(M) 은 MaxSpec(HH⁎(Λ)/N) 에서 Ann_{HH⁎(Λ)} Ext⁎_Λ(M,M) 의 전이미지를 제외한 점들의 집합으로 정의된다. 이 다양성은 Ω‑시작 모듈에 대해 불변이며, 직합에 대해서는 합집합, 정확한 삼각 관계에 대해서는 포함 관계가 성립한다. 또한 Extⁱ_Λ(M,M)=0 (i≫0) 혹은 proj.dim M 혹은 inj.dim M 가 유한하면 다양성은 trivial(=m_gr) 이 된다. 3. **유한성 가정 (Fg1), (Fg2) 와 그 함의** (Fg1) 은 HH⁎(Λ) 안에 차수가 0인 부분대수 H가 Noetherian이며 H₀=HH⁰(Λ) 임을 요구한다. (Fg2) 는 Λ/𝔯 (𝔯은 Jacobson radical) 의 Ext⁎-모듈이 H‑모듈로서 유한 생성임을 뜻한다. 두 가정이 동시에 만족되면 Λ는 Gorenstein이며, 지원 다양성의 trivial성, 유한 proj.dim, 유한 inj.dim 이 서로 동치가 된다(정리 1.2). 또한 임의의 동차 아이디얼 a⊂H에 대해 V_H(a) 와 동형인 모듈이 존재함을 보이며(정리 1.3), 자가인젝티브 Λ에서 V_H(M) 가 선형이면 M 은 Ω‑주기적이라는 강력한 결과를 얻는다(정리 1.4, 1.5). 4. **Ω‑주기적 대수와 HH⁎(Λ)/N 의 구조** Λ가 Ω‑주기적이면, 즉 어떤 n≥1에 대해 Ωⁿ_{Λᵉ}(Λ)≅Λ(또는 1_Λ σ) 가 되면, HH⁎(Λ)/N 은 K