삼각형 펙 솔리테어 무한 스윕

초록

본 논문은 삼각형 격자 보드에서 한 개의 말이 남은 모든 말들을 한 번에 연속 점프(스윕)하는 최장 해를 탐구한다. 6·8 변 보드에서는 기하학적으로 가능한 최장 스윕을 최종 수로 구현할 수 있음을 보이고, 더 큰 보드에서는 일정한 규칙으로 임의의 길이 스윕을 만들 수 있는 구성법을 제시한다. 또한 최소 이동 수(다중 점프를 하나의 이동으로 간주) 문제에 대한 실험적 결과도 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 삼각형 격자 보드 T(n)의 정의와 좌표 체계를 소개하고, 전통적인 펙 솔리테어 규칙을 그대로 적용한다. 여기서 “스윕”은 하나의 말이 연속적으로 여러 말을 뛰어넘는 일련의 점프를 의미하며, i‑스윕은 i개의 점프를 포함한다. 저자는 홀수 변 보드에서는 모든 정점의 차수가 짝수인 최대 스윕 패턴이 존재하지만, 보드의 보완(complement) 상태에서는 어떠한 점프도 불가능하므로 전방‑후방 정리(Forward/Backward Theorem)에 의해 실제 게임 중에 이러한 최대 스윕을 구현할 수 없음을 증명한다.

다음으로 짝수 변 보드, 특히 T(6)과 T(8)에서 최대 스윕을 실제 솔루션의 마지막 수로 만들 수 있음을 구체적인 예시와 그림을 통해 보여준다. 여기서는 먼저 스윕 패턴의 보완 상태에서 역방향으로 플레이하여 가능한 초기 공백을 찾고, 이를 정방향으로 뒤집어 최종 스윕을 얻는 방법을 사용한다. 특히 T(6)에서는 9‑스윕을 9수의 최소 이동으로 구현했으며, 이는 기존에 알려진 해와 일치한다. T(8)에서는 18‑스윕을 15수(최소는 14수)로 달성했지만, 최소 이동 수와 최대 스윕 길이는 반드시 동시에 최적화될 수 없음을 지적한다.

보드 크기가 커질수록 최대 스윕을 직접 구현하는 것이 불가능해지므로, 저자는 “약간 감소된” 스윕을 구성하는 귀납적 방법을 제시한다. T(12)에서 42‑스윕을 구현한 뒤, 이를 두 개의 구성 요소(A, B)로 분리하고, B를 아래쪽에 추가 배치함으로써 T(24), T(36) 등 변이 12의 배수인 보드에서 점차적으로 스윕 길이를 늘린다. 이 과정에서 각 단계마다 보완 상태를 다시 한 번 역방향으로 풀어 단일 말로 축소할 수 있음을 증명한다. 결과적으로 T(12i) 보드에서는 길이 54i²‑13i+1의 스윕을 만들 수 있으며, 이는 보드 전체 구멍 수 72i²+6i에 대해 약 3/4에 해당하는 말을 한 번에 제거한다. 또한 전체 정방향 솔루션의 점프 수는 18i²+19i‑3이며, 약간의 재배열을 통해 18i²+14i‑3으로 감소시킬 수 있다.

마지막으로 저자는 최소 이동 수 문제에 대한 전산 탐색 결과를 제시한다. T(5)와 T(6)에서는 기존 연구와 일치하는 최소 이동 수를 확인했으며, T(7)까지 전 exhaustively 탐색하여 각 시작‑공백 조합에 대한 최소 이동 수를 표로 정리한다. 특히 T(6)에서는 절반 이상의 문제를 9수 안에 해결할 수 있음을 발견했으며, 이는 T(5)보다 평균적으로 더 짧은 해결이 가능함을 의미한다. 전체적으로 논문은 삼각형 펙 솔리테어에서 스윕과 최소 이동 수라는 두 축을 동시에 고려한 최초의 포괄적 연구이며, 구성법과 정리들을 통해 큰 보드에서도 실용적인 해를 설계할 수 있음을 보여준다.