자연수의 무순서 인수분해 개수를 다항식으로 세는 새로운 방법

본 논문은 자연수 n의 무순서 인수분해 개수 p∗(n)를 새로운 대수적 관점에서 연구한다. 먼저 n의 소인수 분해를 n=p₁^{n₁}p₂^{n₂}…p_k^{n_k} (p_i는 서로 다른 소수) 로 표기하고, 이때 생성되는 부분모노이드 S(n)=\{p₁^{r₁}p₂^{r₂}…p_k^{r_k}\mid r_i∈ℕ₀\} 를 정의한다. S(n)에 “a ≤· b ⇔ a가 b를 나눈다” 라는 부분순서를 부여하면, 이는 격자 구조를 이루며, 합(lcm)과 교(gcd) 연산이 각각 상·하한이 된다. 다음 단계에서는 S(n)의 각 원소 m을 다항식 f(x;m)=r₁+r₂x+…+r_kx^{k‑1} 로 매핑하는 함수 ψ를 도입한다. 여기서 r_i는 m의 소인수 p_i의 지수이다. ψ는 일대일이며, 곱셈 m₁·m₂에 대해 ψ(m₁·m₂)=ψ(m₁)+ψ(m₂) 를 만족한다. 따라서 (S(n),·,≤·)와 (P_k