교대 재생 과정으로 만든 다중 종속 포아송 과정의 상관 함수

초록

본 논문은 교대 재생 과정(alternating renewal process)을 이용해 두 개 이상의 포아송 과정을 의도적으로 상관시키는 방법을 제시한다. 연속적인 두 종류의 대기시간 분포를 교대로 샘플링함으로써 각 과정이 포아송 특성을 유지하면서도 원하는 상관 구조를 갖도록 하는 조건을 수학적으로 도출한다. 특히, 쌍별 상관 함수식을 명시적으로 구하고, 이때 상관이 양수뿐 아니라 음수도 될 수 있음을 보인다. 또한, 이 기법을 다중(두 개 이상) 종속 재생 과정으로 확장하는 가능성을 논의한다.

상세 분석

논문은 먼저 포아송 과정의 기본 정의와 교대 재생 과정(Alternating Renewal Process, ARP)의 구조를 정리한다. ARP는 두 개의 독립적인 대기시간 분포 (F_{1}(t))와 (F_{2}(t))를 번갈아 가며 샘플링하고, 각각의 샘플이 누적될 때마다 사건이 발생하도록 설계된다. 이때 각 과정이 포아송 과정을 모방하려면, 각 대기시간이 지수분포를 따르는 것이 아니라, 전체적인 사건 발생 간격이 지수분포와 동일한 확률밀도함수를 갖도록 하는 조건이 필요하다. 저자는 라플라스 변환을 이용해 두 대기시간 분포의 변환 (\tilde{F}{1}(s),\tilde{F}{2}(s))가 다음 관계를 만족해야 함을 증명한다.

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