삼각형의 고도와 중선에 관한 새로운 부등식 군

초록

본 논문에서는 삼각형의 고도와 중선 사이에 성립하는 여러 부등식을 제시하고, 그 중 최소 하나는 기존 문헌에 등장하지 않은 새로운 결과임을 증명한다. 주요 정리는 고도와 중선의 제곱합, 선형합, 그리고 이들의 곱에 대한 관계를 포함하며, 다양한 직접적인 추론과 특수 경우에 대한 corollary를 도출한다. 증명은 고전적인 삼각형 공식(헤론, 사인법칙, 중선 공식 등)을 활용한 대수적 변환과, 코시-슈바르츠·제이슨·볼록성 등 불등식 기법을 적절히 결합한 방식으로 전개된다.

상세 요약

논문은 먼저 삼각형 (ABC)의 변을 (a,b,c), 면적을 (\Delta), 외접반지름을 (R), 내접반지름을 (r)이라 두고, 고도 (h_a=\frac{2\Delta}{a}), (h_b=\frac{2\Delta}{b}), (h_c=\frac{2\Delta}{c})와 중선 (m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}) 등을 표준식으로 정의한다. 이러한 정의를 이용해 고도와 중선을 변의 함수로 완전 전개하면, 모든 부등식은 결국 (a,b,c)에 대한 다항식 형태가 된다. 저자는 이 다항식을 정리하면서 두 가지 핵심 전략을 사용한다. 첫 번째는 (a,b,c)를 반대수 (s=\frac{a+b+c}{2})와의 관계식으로 치환해 대칭성을 부각시키는 것이며, 두 번째는 코시-슈바르츠 부등식과 AM‑GM, RMS‑AM 관계를 적절히 적용해 복잡한 다항식의 부호를 보장한다.

주요 정리(정리 1)는
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