루프 코프로덕트와 고차 genus TQFT 연산의 완전 소멸

본 논문은 자유 루프 공간 \(LM=\operatorname{Map}(S^{1},M)\) 위에 정의된 루프 코프로덕트 \(\Psi\)와 그에 따른 문자열 토폴로지 연산들의 소멸 현상을 체계적으로 분석한다. 서론에서는 Cohen‑Godin이 제시한 양의 경계 TQFT 구조를 소개하고, 이 구조가 표면 \(\Sigma\)의 위상 유형에 따라 정의되는 연산 \(\mu_{\Sigma}:H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*+\chi(\Sigma)d}(LM)^{\otimes q}\)와 연결된다는 점을 상기한다. 여기서 \(\chi(\Sigma)\)는 오일러 특성, \(d=\dim M\)이다. 2장에서는 루프 코프로덕트의 정의와 전이 사상 \(\iota_{!}\)를 이용한 구체적 구현을 제시한다. 평가 사상 \(p,p':LM\to M\)와 대각 사상 \(\phi:M\to M\times M\)를 이용해 부분공간 \(SM=\{\,\gamma\mid \gamma(0)=\gamma(1/2)\,\}\)를 정의하고, 포함 \(\iota:SM\hookrightarrow LM\)와 분할 사상 \(j:SM\to LM\times LM\)를 구성한다. 전이 사상 \(\iota_{!}:H_{*+d}(LM)\to H_{*}(SM)\)는 Thom 콜랩스와 정상다발의 Thom 클래스 \(u\)를 통해 정의되며, \(\Psi=j_{*}\circ\iota_{!}\)가 루프 코프로덕트가 된다. 이 과정에서 Euler 클래스 \(e_{M}\)와 상수 루프 사상 \(s:M\to LM\)가 중요한 역할을 한다. Proposition 2.1은 \(\iota^{*}\iota_{!}(a)=p^{*}(e_{M})\cap a\)와 \(\iota^{*}\iota_{!}(s_{*}