임의의 정수 n에 대해 정확히 n개의 내접 정사각형을 갖는 매끄러운 폐곡선의 존재

본 논문은 “정사각형 못” 문제와는 다른 질문을 제기한다. 기존 연구는 모든 단순 폐곡선이 최소 하나의 내접 정사각형을 포함한다는 존재론적 명제를 다루었지만, 저자는 “임의의 양의 정수 n에 대해, 정확히 n개의 내접 정사각형을 갖는 단순 폐곡선이 존재한다”는 구체적인 구성 문제를 해결한다. 1. **서론**에서는 문제 배경과 기존 연구를 간략히 소개하고, 최근의 미완성 결과와 웹사이트에 게시된 추측(Arnold의 불변량 St, J⁺, J⁻와 정사각형 개수 사이의 관계)을 언급한다. 저자는 이러한 추측이 완전하지 않음을 시사한다. 2. **두 개의 내접 정사각형을 갖는 곡선**에서는 단위 원의 5π/4~7π/4 구간을 제거하고, 해당 구간을 매끄러운 곡선으로 대체한다. 구체적으로 y = –√(1–x²)+c·exp(–((x+1/√2)²+(x–1/√2)²)/0.02) 형태의 함수를 사용한다. 적절한 상수 c(≈1.18264)를 선택하면, 곡선은 원과 두 점에서만 교차하고, 그 외의 부분에서는 정사각형의 꼭짓점이 될 수 없는 위치에 있다. 따라서 수평 변을 갖는 정사각형은 두 개뿐이며, 비수평 변을 갖는 정사각형은 존재하지 않음이 논증된다. 3. **정확히 n개의 내접 정사각형을 만드는 일반화**에서는 위의 아이디어를 확장한다. 원의 호를 여러 개의 작은 구간으로 나누고, 각 구간마다 위와 같은 매끄러운 “버블”을 삽입한다. 각 버블은 하나의 새로운 정사각형을 생성하도록 설계된다. 버블의 위치와 크기를 조절하면, 버블이 서로 겹치지 않도록 하면서 정확히 n개의 버블을 만들 수 있다. 전체 곡선은 C^∞이며, 곡률이 양수인 구간만을 사용하므로 볼록성을 유지한다. 4. **Arnold 불변량과 기존 추측에 대한 비판**에서는 St, J⁺, J⁻만으로는 내접 정사각형 개수를 결정할 수 없음을 보인다. 저자는 매끄러운 변형을 통해 불변량을 유지하면서도 정사각형 개수를 임의로 조절할 수 있음을 시연한다. 5. **추가적인 추측**으로, 임의의 몰입 곡선 T에 대해 같은 불변량을 유지하면서 정사각형 개수를 늘릴 수 있는 변형이 존재한다는 가정을 제시한다. 여기서는 “Genericity Assumption”이라는 가정을 두고, 버블을 추가함으로써 원하는 개수의 정사각형을 만들 수 있음을 논증한다. 그러나 이 가정에 대한 엄밀한 증명은 제공되지 않는다. 6. **결론**에서는 본 연구가 매끄럽고 볼록한 단순 폐곡선이 임의의 정수 n에 대해 정확히 n개의 내접 정사각형을 가질 수 있음을 보여주며, 이는 기존의 존재론적 질문과는 별개로 곡선 설계와 위상학적 불변량 사이의 관계를 재조명한다는 점을 강조한다. 향후 연구 과제로는 버블 삽입 과정의 정량적 분석, 비볼록 혹은 비매끄러운 곡선에 대한 확장, 그리고 Genericity Assumption의 증명이 있다.