과부하 CDMA를 위한 무오류 코드 설계와 성능 분석

1. 서론 동기식 CDMA에서 사용자가 칩 수보다 많아지는 과부하 상황은 기존의 직교(Hadamard) 코드가 존재하지 않아 다중접속 간섭(MAI)이 발생하고 오류가 불가피하다. 저자들은 이러한 한계를 극복하기 위해 오류가 전혀 없는(over‑load‑free) 코드를 설계하고, 이를 무선 및 광학 CDMA에 적용하고자 한다. 2. 시스템 모델 및 기본 정의 수신 벡터 y = A x + n 로 모델링하며, A는 M × N(칩 × 사용자) 서명 행렬, x는 {±1}ⁿ 형태의 사용자 데이터, n은 AWGN이다. 완전 전력 제어가 가정되면 A의 각 열은 동일한 전력을 갖는다. 3. COW 코드의 수학적 정의 Lemma 1: A가 COW라면 null‑space(A) = {0}이어야 함을 증명한다. 즉, A·(x − y) = 0 ⇒ x = y 가 성립한다. Corollary 1은 행·열에 ±1을 곱하거나 순열, 행 추가가 COW 특성을 보존함을 보여준다. 4. 코드 구성 방법 Theorem 1: 가역 행렬 P와 기존 COW 행렬 A에 대해 P ⊗ A 역시 COW임을 증명, 이를 통해 차원을 기하급수적으로 확대한다. Theorem 2: 기존 COW 행렬에 특정 패턴의 열을 추가하면 새로운 COW 행렬이 된다(증명은 Appendix C). 예시 1에서는 4×4 Hadamard 행렬을 시작으로 8×7, 16×15, 최종적으로 64×60 규모의 COW 행렬을 단계적으로 구축한다. 5. COO 코드(광학 CDMA) Theorem 3은 COW 행렬에 전부 1인 행을 추가하면 COO 행렬이 됨을 보이며, COO는 광학 시스템에서 0/1(ON/OFF) 형태의 마스크로 구현 가능함을 강조한다. Theorem 4, 5는 COO 행렬에 대한 Kronecker 확장 및 희소 행렬 설계 방법을 제시한다. 6. 사용자 수에 대한 상한 Theorem 6은 정보이론적 엔트로피 계산을 통해 N ≤ M·log₂(1 + M) 정도가 과부하 한계임을 도출한다. Appendix A에서는 보다 엄밀한 상한 N ≤ ⌊M·log₂(M)⌋ 등을 제시한다. 7. 합채널 용량 분석 Section IV에서는 무잡음 이진 CDMA의 합채널 용량 C_sum을 H(Y) − H(N) 형태로 표현하고, COW/COO 코드가 존재하는 영역에서 C_sum이 최대가 됨을 보인다. 하한은 사용자 독립성에 기반한 H(X) = N·1bit, 상한은 출력 엔트로피의 최대값을 이용한다. 8. 디코딩 알고리즘 전통적인 ML 탐색은 2^N 복잡도를 갖지만, COW/COO 행렬이 일대일 사상이라는 특성을 이용해 수신 벡터와 사전 계산된 코드북을 직접 매칭하는 lookup‑table 기반 ML 디코더를 제안한다. 메모리 요구량은 2^M 정도이며, M이 10~12 정도면 실시간 구현이 가능하다. 9. 시뮬레이션 및 성능 평가 Eb/N0 = 6~10 dB 구간에서 제안된 COW/COO 코드가 BWBE 코드 대비 BER이 약 1~2 dB 향상됨을 확인한다. 과부하 비율이 150 %를 초과하면 성능 저하가 시작되지만, 여전히 잡음이 없는 경우 오류가 전혀 발생하지 않는다. 또한, 복잡도 측면에서 lookup‑table 디코더가 실시간 처리에 충분함을 보여준다. 10. 결론 및 향후 연구 COW/COO 코드는 칩 수를 크게 늘리지 않고도 사용자 수를 확대할 수 있는 실용적인 방법을 제공한다. 향후 연구로는 비동기식 환경, 비균등 전력 제어, 그리고 다중 안테나(MIMO)와의 결합이 제안된다.