조건부 아카이케 정보와 포아송 혼합모형: 새로운 AIC 접근법

초록

본 논문은 포아송 회귀와 랜덤 효과를 결합한 일반화선형혼합모형(GLMM)에서 조건부 Akaike 정보 기준(AIC)을 도출하고, 시뮬레이션을 통해 그 실용성을 검증한다. 기존 선형 혼합모형에 대한 조건부 AIC 이론을 포아송 모델에 확장함으로써, 조건부 추정에 초점을 맞춘 모델 선택 방법을 제공한다.

상세 분석

이 연구는 Vaida와 Blanchard(2005)가 제시한 “조건부 vs. 주변” 추론 구분을 출발점으로 삼는다. 일반화선형혼합모형(GLMM)에서는 고정 효과와 랜덤 효과가 동시에 존재하므로, 모델 선택 기준을 어떻게 정의하느냐에 따라 해석이 크게 달라진다. 기존의 AIC는 전체 데이터(주변)에 대한 평균적 적합도를 측정하는 반면, 조건부 AIC는 특정 랜덤 효과 realizations(조건부) 하에서의 적합도를 평가한다. Liang와 Wu(2008)는 선형 혼합모형에 대해 조건부 AIC를 공식화했으며, 그 핵심은 효과적인 자유도(effective degrees of freedom)를 랜덤 효과의 베이지안 사후분포를 이용해 추정하는 것이다.

본 논문은 이 아이디어를 포아송 회귀에 그대로 적용한다. 포아송 GLMM은 로그링크와 정수형 반응변수를 갖기 때문에, 로그우도와 그에 대한 2차 미분(피셔 정보 행렬)이 비선형 형태를 띤다. 저자들은 먼저 완전 로그우도(likelihood)와 조건부 로그우도(conditional likelihood)를 명시하고, 라플라스 근사를 이용해 적분을 근사한다. 그 다음, 라플라스 근사에서 얻은 근사된 피셔 정보 행렬의 대각합을 이용해 조건부 자유도를 정의한다. 이 자유도는 고정 효과와 랜덤 효과의 파라미터 수를 포함하지만, 랜덤 효과의 분산 파라미터에 대해서는 추가적인 보정항을 포함한다.

조건부 AIC는 다음과 같이 제시된다:
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