통계역학으로 본 CDMA 확산 시퀀스 최적화와 WBE 시퀀스의 우수성

본 논문은 통계역학적 방법, 특히 복제법을 활용해 CDMA 시스템의 설계 문제를 다루는 새로운 접근법을 제시한다. 먼저 저자들은 K명의 사용자가 L개의 차원(스프레딩 팩터)으로 구성된 실수값 CDMA 채널 모델을 정의한다. 각 사용자의 전송 심볼 x_k는 평균 0, 분산 1인 임의의 확률분포 p(x)로 가정하고, 스프레딩 시퀀스 s_{μk}는 정규화된 행렬 S로 표현된다. 채널 출력은 y = Sx + σn 형태이며, n은 평균 0, 분산 1인 AWGN이다. 목표는 평균 상호정보량 C = lim_{K→∞} (1/K) I(x; y | S) 를 최대화하는 스프레딩 시퀀스를 찾는 것이다. 복제법을 적용하기 위해 저자들은 로그-분배식 lim_{n→0} ∂/∂n (p(y|S))^n = log p(y|S) 를 이용해 평균 상호정보량을 복제 변수 n에 대한 미분 형태로 변환한다. 이후 K→∞ 한계에서 자유 에너지와 같은 형태의 식을 얻고, 스프레딩 행렬 S의 고유값 분포 ρ(λ)와 그 R‑transform R(z)를 도입한다. 평균 상호정보량은 식 (12)에서 θ와 E라는 두 파라미터와 ρ(λ)의 R‑transform에 의해 결정되며, θ와 E는 스칼라 AWGN 채널의 사후 평균을 이용한 고정점 방정식(16)-(18)으로 정의된다. 다음으로 저자들은 ρ(λ)를 최적화 변수로 보면서, 평균 상호정보량을 ρ(λ)의 함수형으로 재구성한다. 제약 조건으로는 (i) β=K/L>1 일 때 R은 K−L개의 영 고유값을 가져야 하며, (ii) 스프레딩 시퀀스의 전력 정규화 ∑_{μ}(s_{μk}/√L)^2 =1 로부터 ∫ λ ρ(λ) dλ =1 이 성립한다. 이러한 제약을 만족하는 ρ(λ)를 ρ(λ)= (1−1/β)δ(λ) + (1/β)π(λ) 형태로 표현하고, π(λ)는 확률분포이며 ∫ λ π(λ) dλ = β 를 만족한다. C를 ρ(λ)에 대해 미분하면 파라미터 E, θ에 대한 변분은 고정점 방정식에 의해 0이 되므로, 실제 변분은 −(1/2)G(−E/σ²) 항에만 의존한다. 여기서 G(t)=∫₀^t R(z) dz 이다. 따라서 모든 z∈(−E/σ²,0) 구간에서 R(z)를 최대화하는 ρ(λ) 가 C를 최대화한다. 이를 Hilbert 변환 C(γ)와 연결시키면, γ<λ_min 구간에서 Hilbert 변환을 최대화하는 ρ(λ) 가 동일하게 R(z)를 최대화한다는 명제가 도출된다. 이론적으로, 정규직교 불변(Welch Bound Equality, WBE) 시퀀스는 S Sᵀ = β I_L 를 만족하고, 고유값 분포가 ρ_WBE(λ)= (1−1/β)δ(λ) + (1/β)δ(λ−β) 로 단순히 두 점에 집중된다. 이 분포의 R‑transform은 식 (22)와 같이 명시적으로 계산 가능하며, 임의의 정규화된 무작위 시퀀스(마르첸코‑파스투르 법칙)보다 모든 z∈(−E/σ²,0)에서 큰 값을 가진다. 따라서 평균 상호정보량이 가장 크게 된다. 수치 실험에서는 비가우시안 입력, 즉 BPSK와 동일한 p(x)=½