동질 큐 시스템의 점유 분포와 기회적 스케줄링

본 논문은 무선 통신 시스템에서 하나의 송신기가 여러 모바일 단말의 전용 채널을 통해 패킷을 전송하는 상황을 모델링한다. 각 큐 i는 독립적인 포아송 도착률 λ<1을 갖고, 패킷 전송 시간은 평균 n⁻¹인 지수분포를 따른다. 채널은 온·오프 상태를 가지며, 각 채널이 연결될 확률은 q이며 독립적으로 변한다. 전송은 한 번에 하나의 큐만 수행될 수 있다. 두 가지 스케줄링 정책을 고려한다. 첫 번째는 LCQ(Longest Connected Queue) 정책으로, 현재 연결된 큐 중 가장 긴 큐를 선택한다. 두 번째는 LCQ(d) 정책으로, 연결된 큐 중 무작위로 d개를 선택하고 그 중 가장 긴 큐를 전송한다. d=1이면 무작위 선택, d→∞이면 LCQ와 동일해진다. 시스템 상태를 큐 길이의 누적 분포 u_k(t)=m_k(t)/n (k개 이상을 가진 큐 비율) 로 정의하고, 이를 U라는 컴팩트한 함수 공간에 놓는다. u(t)는 마코프 과정이며, 도착과 전송에 의해 +n⁻¹e_k, -n⁻¹e_k 만큼 점프한다. 전송률은 현재 연결된 큐가 존재할 확률 α_n=1-(1-q)^n와 선택된 d개의 큐 중 최대 길이가 k일 확률 ((1-u_{k+1})^d-(1-u_k)^d) 로 구성된다. 이를 바탕으로 생성자 (2)를 도출하고, 포아송 과정 A_k, D_k를 이용해 랜덤 시간 변화식 (3)과 마팅게일 분해 (4)를 얻는다. n→∞ 한계에서 마팅게일 항이 소멸하고, 연속적인 미분 방정식 (5)으로 수렴한다. 이 방정식은 각 k에 대해 d/dt v_k(t)= λ(v_{k-1}(t)-v_k(t)) -