부분적으로 교환되는 변수들의 다항식 링의 전역 차원

본 논문은 자유 부분적으로 교환되는 모노이드 M(E,I)와 그 행동을 갖는 아벨 범주 A에 대해 전역 차원 gl dim A^{M(E,I)}를 정확히 구한다. 먼저, 작은 범주의 신경(Nerve)과 그 동차군을 이용해 범주의 코호몰로지와 Baues‑Wirsching 차원을 정의한다. Baues‑Wirsching 차원 Dim C는 범주 F C(=factorization category)의 코호몰로지 차원과 동등하며, 이는 cd F C(=cohomological dimension)와 일치한다. 다음으로, 자유 부분적으로 교환되는 모노이드 M(E,I)는 정점 집합 E와 교환 관계 I에 의해 정의되는 독립 그래프를 갖는다. 이 그래프의 클리크 수 ω(E,I) = 서로 교환되는 최대 정점 집합의 크기(무한일 경우 ∞)를 핵심 파라미터로 삼는다. 각 클리크 v∈V에 대해, 해당 정점 집합 E_v 가 생성하는 부분모노이드 M(E_v) 는 완전히 교환되는 자유 모노이드이므로 F M(E_v) 는 차원이 |E_v|인 범주와 동형이다. Lemma 2.2는 이러한 포함 S_v: F M(E_v)↪F M(E,I) 가 강하게 공동초기(strongly coinitial)임을 증명한다. 강한 공동초기성은 코호몰로지 차원의 상한을 유지한다는 성질을 갖는데, 이는 Corollary 1.6에 의해 정리된다. 따라서 전체 모노이드의 Baues‑Wirsching 차원은 \