각도를 확률로 보는 새로운 시각

논문은 “각도를 확률로 보는 새로운 시각”이라는 제목 아래, 고전적인 삼각형의 각도 합이 180°라는 사실을 고차원으로 일반화한다. 먼저, n차원 유클리드 공간 ℝⁿ에서 구면 Sⁿ⁻¹ 위의 표면적을 n·ωₙ이라 정의하고, 볼록다각형 P와 그 내부 점 v에 대해 입체각 a_P(v)와 그 측도 α_P(v)를 도입한다. 이 입체각은 v에서 시작해 작은 거리 ε만큼 이동했을 때 P 안에 남아 있는 방향들의 집합이며, α_P(v)는 그 방향 집합의 구면 면적이다. 다음으로, 무작위 단위벡터 u∈Sⁿ⁻¹를 선택했을 때 정점 v의 정사영 v_u가 P_u의 상대 내부에 들어가는 확률을 계산한다. 이는 v+εu가 P 내부에 존재하는 조건과 동치이며, 결과적으로 Prob