추상수 체계에서 곱셈이 인식 가능성을 파괴한다

초록

이 논문은 알파벳이 세 개 이상인 유한한 언어 Bℓ(ℓ≥3) 위에 정의된 추상수 체계 S에 대해, 정수 λ≥2 로의 곱셈이 S‑인식 가능성을 일반적으로 보존하지 않음을 보인다. 핵심 도구는 정수를 이진계열이 아닌 이항계수의 합으로 유일하게 표현하는 ‘조합수 체계’와 그와 Bℓ 사이의 일대일 대응이다. 결과적으로 ℓ=1 혹은 ℓ=2이며 λ이 홀수 제곱인 경우만이 예외임을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 추상수 체계 S=(L,Σ,<) 를 정의하고, 특히 L이 ‘bounded language’ Bℓ = a₁* a₂* … aℓ* 로 구성될 때의 특성을 살핀다. Bℓ 의 단어들은 길이와 사전식 순서에 따라 genealogical order 로 정렬되며, n번째 단어를 repℓ(n) 로 표기한다. 이때 repℓ 은 N과 Bℓ 사이의 전단사이며, 그 역함수 valℓ 은 단어를 정수값으로 변환한다.

다음으로 저자는 Bℓ 의 길이별 단어 수 uℓ(n)=C(n+ℓ‑1,ℓ‑1) 를 증명하고, 이를 이용해 valℓ(a_{n₁}…a_{nℓ}) = Σ_{i=1}^{ℓ} C(n_i+…+n_ℓ+ℓ‑i,ℓ‑i+1) 라는 명시적 식을 얻는다. 이 식은 바로 ‘조합수 체계(combinatorial numeration system)’라 불리며, 모든 비음수 정수 n을 서로 다른 이항계수들의 합 n = C(z_ℓ,ℓ)+C(z_{ℓ‑1},ℓ‑1)+…+C(z₁,1) (z_ℓ>…>z₁≥0) 로 유일하게 나타낼 수 있음을 보인다.

조합수 체계와 Bℓ 사이의 일대일 대응을 이용해, Bℓ‑인식 가능한 집합 X⊆N 은 valℓ⁻¹(X) 가 정규 언어가 되는 경우와 동치임을 보인다. 정규 언어의 구조는 반수렴(ultimately periodic) 성질을 갖는 반선형 집합(semi‑linear set)으로 기술될 수 있다. 특히, Bℓ 은 다항 성장(uℓ(n)=Θ(n^{ℓ‑1}))을 보이므로, 기존 결과(Theorem 2)에서는 λ이 β^{ℓ} 형태일 때만 인식 가능성이 보존될 가능성이 있음을 시사한다.

주요 증명은 λ≥2 인 임의의 정수에 대해, ℓ≥3이면 λ배 연산 f_λ: Bℓ→Bℓ 가 정규 언어를 보존하지 않음을 보이는 것이다. 구체적으로, X를 “valℓ⁻¹({n : n의 조합수 표현에서 최고 차항 z_ℓ 가 특정 등차수열을 따른다})” 로 잡으면 X는 정규이지만, λX의 조합수 표현은 z_ℓ 값이 비선형적으로 변형되어 반주기성을 깨뜨린다. 이를 정밀히 계산하기 위해 저자는 λn 의 Bℓ‑표현 길이와 각 자리의 변화를 추적하는 식(5)을 도출하고, 길이 변화가 일정한 차이(=ℓ) 로 증가하지 않음을 보인다. 결국 λX는 반주기성을 잃어 정규 언어가 될 수 없으며, 이는 “λ가 Bℓ‑인식 가능성을 보존한다”는 가정과 모순된다.

마지막으로 ℓ=1(단일 문자)와 ℓ=2(이진 bounded language a* b*) 에서는 별도의 분석이 가능하다. ℓ=1은 곱셈이 단순히 길이만 늘리므로 항상 인식 가능하고, ℓ=2에서는 기존 연구(