사각형 격자의 두 번째 해밀토니안 형태와 기하학적 해석

본 논문은 이산 다변량 적분가능계의 한 축을 담당하는 ‘Discrete Darboux‑Manakov‑Zakharov (DMZ) 시스템’의 두 번째 해밀토니안 구조를 탐구한다. 기존 연구에서는 원형 격자(circular net)라는 특수한 3차원 사각형 격자가 첫 번째 해밀토니안 형태와 연관됨을 보였으며, 각 육면체가 구에 내접한다는 기하학적 조건이 핵심이었다. 저자는 이러한 조건을 포기하고, 대신 격자를 4차원 유클리드 공간 E⁴에 매장시켜 각 육면체가 3차원 하이퍼플레인에 포함되도록 한다. 1. **기본 설정** 격자는 ℤ³ → E⁴의 매핑 x(n₁,n₂,n₃)으로 정의되며, 각 사각형 면이 평면에 놓인다. 한 육면체는 여덟 개의 정점 x, x₁, x₂, x₃, x₁₂, x₁₃, x₂₃, x₁₂₃ 로 구성된다(그림 1). 2. **정규성(Orthogonality) 조건** 각 육면체를 둘러싼 여덟 개의 하이퍼플레인(그림 2)의 부피 V(e_i, e_j, e_k)를 이용해 \