피타고라스 삼각형의 17가지 요소 완전 분석

초록

본 논문은 직각삼각형에서 나타나는 17개의 기하학적 요소—내접원·외접원·세 외접원·세 높이·세 내각 이등분선·세 외각 이등분선·세 중선—에 대해 각각가 정수, 유리수, 무리수인 경우의 정확한 판정 조건을 제시한다. 정수변을 갖는 피타고라스 삼각형(즉, 피타고라스 삼중항)과 일반 실수변을 갖는 경우를 구분하여, 각 요소의 대수식과 그 값이 정수·유리·무리수가 되는 필요충분조건을 체계적으로 도출한다.

상세 분석

논문은 직각삼각형을 a, b(직각변)와 c(빗변)으로 두고, a, b는 양의 정수, c는 √(a²+b²) 로 정의한다. 먼저 내접원 반지름 r는 (a+b−c)/2 로 표현되며, c가 정수이면 r는 반정수(정수·½) 형태가 된다. 따라서 피타고라스 삼중항일 때 r는 유리수이며, c가 무리수이면 r 역시 무리수가 된다. 외접원 반지름 R은 c/2 로, c가 정수이면 R은 정수·½, 무리수이면 R도 무리수이다. 세 외접원 반지름 r_a, r_b, r_c는 각각 (b+c−a)/2, (a+c−b)/2, (a+b+c)/2 로 주어지며, 마찬가지로 c의 유리·무리성에 따라 전체가 결정된다.

높이 h_c(빗변에 대한 고도)는 ab/c 로, a·b가 정수이므로 c가 정수이면 h_c는 유리수, c가 무리수이면 h_c는 무리수이다. 직각변에 대한 고도 h_a, h_b는 각각 b·c/a, a·c/b 로 나타나며, a·b·c가 모두 정수일 경우에만 유리수가 된다.

내각 이등분선 l_a, l_b, l_c는 일반적으로 l_a = (2bc·cos(A/2))/(b+c) 로 주어지며, 직각삼각형에서는 cos(A/2)=√