준하이퍼메트릭 공간에서 거리 기하학 III

초록

이 논문은 컴팩트 거리공간 ((X,d))에 대해 전체 질량이 1인 부호 측도 (\mu)에 대한 이중 적분 (I(\mu)=\iint d(x,y),d\mu(x)d\mu(y))의 상한 (M(X))를 연구한다. (M(X))의 유한성, 최대 측도 존재 여부, 그리고 (M(X))와 공간의 쿼시하이퍼메트릭 성질, 거리 임베딩, 유한 공간에서의 선형계획 문제와의 연관성을 밝힌다. 또한 총질량 0인 측도들의 부분공간에 정의되는 반내적을 이용해 에너지 힐베르트 공간을 구성하고, 그 완비성 및 차원 특성을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 (M(X)=\sup{I(\mu):\mu\in\mathcal M(X),\ \mu(X)=1}) 를 정의하고, 이 상한이 유한하려면 ((X,d))가 쿼시하이퍼메트릭이어야 함을 보인다. 쿼시하이퍼메트릭성은 모든 총질량 0인 부호 측도 (\nu)에 대해 (I(\nu)\le 0) 이 성립하는 조건이며, 이는 거리함수 (d)가 음의 유형(negative type) 을 갖는 것과 동치인 경우가 많다. 저자들은 (M(X))가 유한한 경우와 무한한 경우를 명확히 구분하고, 특히 유한공간에서는 (M(X))가 선형계획(LP) 문제의 최적값으로 표현될 수 있음을 보여준다.

다음으로, 총질량이 0인 측도들의 부분공간
\