십진수 순환소수에서 유도된 이진 난수열의 특성 분석

초록

본 논문은 소수의 역수(순환소수)를 먼저 10진수 형태로 구한 뒤, 이를 2진수로 변환하여 새로운 이진 난수열(BRD)을 생성한다. 생성된 시퀀스의 자기상관 및 상호상관 특성을 실험적으로 평가하고, 기존 직접 2진수 생성 방식과 비교하여 주기성 감소와 상관성 약화를 확인한다.

상세 분석

이 연구는 기존에 소수의 역수를 바로 2진수로 표현해 난수열을 얻는 방법과는 근본적인 차별점을 둔다. 먼저, p가 소수일 때 1/p의 10진수 순환소수를 구하고, 그 결과를 문자열 형태로 저장한다. 이때 순환 주기는 p‑1 이하이며, 순환 부분이 길수록 정보량이 풍부해진다. 이후 각 10진수 자리수를 4비트 이진수(또는 필요에 따라 가변 비트)로 매핑함으로써 전체 이진 시퀀스를 재구성한다. 이 과정에서 10진수 자리의 비균등 분포가 이진 비트에 비선형적으로 섞이게 되므로, 원래 2진수 직접 변환 방식보다 높은 무작위성을 기대할 수 있다.

논문은 생성된 BRD 시퀀스에 대해 자기상관 함수 R(τ)=∑{i=0}^{N‑1} s_i·s{i+τ} (mod 2) 를 계산하고, τ≠0 구간에서 평균값이 거의 0에 가깝게 나타나는지를 확인한다. 실험 결과, 대부분의 p에 대해 피크가 τ=0을 제외하고 거의 사라져, 이상적인 백색 잡음과 유사한 특성을 보였다. 또한, 서로 다른 소수 p₁, p₂에서 유도된 두 시퀀스 간의 교차상관 C(τ)=∑ s_i^{(1)}·s_{i+τ}^{(2)} 역시 낮은 값을 유지했으며, 이는 다중 채널 암호화나 CDMA 시스템에서 간섭 최소화에 유리함을 시사한다.

비교 실험에서는 전통적인 선형 피드백 시프트 레지스터(LFSR) 기반 시퀀스와의 상관성을 측정했으며, BRD 시퀀스가 LFSR보다 더 낮은 최대 상관값을 기록했다. 이는 순환소수의 주기가 소수에 따라 비주기적이며, 10진수→2진수 변환 과정에서 발생하는 비선형 매핑이 시퀀스의 구조적 규칙성을 크게 파괴하기 때문이다.

또한, 논문은 시퀀스 길이 N이 p‑1에 근접할수록 상관 특성이 더욱 개선된다는 점을 강조한다. 이는 순환소수의 전체 주기를 활용했을 때 비트 패턴이 최대한 다양해지기 때문이다. 그러나 p가 작을 경우 순환 주기가 짧아 상관값이 다소 상승할 수 있음을 실험적으로 확인하였다.

마지막으로, 구현 복잡도 측면에서 10진수 순환소수를 구하는 알고리즘은 단순한 나눗셈 반복으로 O(p) 시간에 수행 가능하며, 비트 매핑 단계 역시 고정된 테이블 조회로 O(N) 에 처리된다. 따라서 하드웨어 제한이 있는 임베디드 환경에서도 실시간 난수 생성이 가능함을 제시한다.