가중동차 복소곡면 특이점의 바이 리프시츠 기하학

본 논문은 가중동차 복소곡면 특이점의 내측 거리 구조를 연구하여, 메트릭 원뿔성(즉, 바이-리프시츠 동형으로 표준 원뿔과 동일한 거리 구조를 갖는지)과 가중치 사이의 정확한 관계를 밝힌다. 1. **배경 및 정의** - 복소곡면 특이점 \((V,p)\)를 \(\mathbb{C}^N\)에 삽입하고, 표준 유클리드 거리로부터 유도된 ‘내부 거리’를 고려한다. 이는 선택된 좌표함수 집합에 독립적으로 정의되는 바이-리프시츠 동형 클래스이다. - 가중동차 특이점은 \(\mathbb{C}^*\)-작용이 존재하며, 최소 생성원들의 가중치 \(v_1\ge\cdots\ge v_r\)가 정의된다. 가장 낮은 두 가중치를 \(v_{r-1},v_r\)라 한다. 2. **주요 정리** - **정리 1**: \(v_{r-1}>v_r\) (즉, 두 최저 가중치가 다르면) \((V,p)\)는 메트릭 원뿔이 될 수 없다. - **정리 2**: 사이클릭 몽환적 특이점 \( \mathbb{C}^2/\mu_n\)은 가중치가 모두 동일한 경우(즉, \(q=1\)인 경우)만 메트릭 원뿔이다. 이는 ADE 유형의 대부분이 메트릭 원뿔이 아님을 즉시 설명한다. - **정리 3**: 두 가중동차 특이점 \((V,p),(W,q)\)에 대해 \