진법 유리수열 평균의 점근적 거동과 확대 방정식

초록

본 논문은 진법 기반의 유리수열을 형식 언어 이론의 유리 형식 멱급수로 해석하고, 복소값을 갖는 모든 진법 유리수열에 대해 그 Cesàro 평균의 점근적 전개식을 제시한다. 전개식의 정확도는 선형 표현의 공동 스펙트럼 반경에 의해 결정되며, 계수는 특정 확대 방정식의 해를 통해 구한다. 증명은 기본적인 선형대수만을 이용한다.

상세 분석

논문은 먼저 진법‑rational(진법 유리) 수열을 정의한다. 이는 고정된 진법 b에 대해, n을 b진법으로 표현한 문자열 w(n)와 유한 차원 복소벡터 공간 V, 그리고 선형 변환 집합 {A₀,…,A_{b‑1}}⊂End(V)와 초기 벡터 v₀, 출력 함수 ℓ:V→ℂ를 이용해 uₙ=ℓ(A_{d₁}A_{d₂}…A_{d_k}v₀) (w(n)=d₁…d_k) 로 나타낼 수 있는 수열이다. 이러한 표현은 전통적인 자동수열과 동일하지만, 출력값이 복소수인 경우를 포함한다는 점에서 일반화된다.

핵심은 이 수열의 Cesàro 평균 S(N)=\frac1N∑{n< N}uₙ의 점근적 거동을 분석하는 것이다. 저자는 선형 표현의 공동 스펙트럼 반경 ρ(A)=lim sup{k→∞}‖A_{i₁}…A_{i_k}‖^{1/k} 를 도입하고, ρ(A)<b인 경우와 ρ(A)=b인 경우를 구분한다. ρ(A)<b이면 평균은 b‑진법에 대한 정규화된 고정점으로 수렴하고, 오차항은 ρ(A)/b の 거듭제곱에 의해 지배된다. 반면 ρ(A)=b이면 주기적 진동이 나타나며, 이는 확대 방정식 f(x)=∑_{d=0}^{b‑1}A_d f(bx−d) 의 고유해를 통해 기술된다.

이 확대 방정식은 자기유사 구조를 가진 함수 f를 정의한다. 저자는 f를 연속함수 혹은 Hölder 연속함수로 보장하기 위해 추가적인 비축소성 조건을 제시한다. 특히, A_d 가 모두 수축 연산자를 이루는 경우 f는 고유한 해를 갖고, 그 해는 Fourier 변환을 이용해 명시적으로 계산 가능하다.

증명 과정은 기본적인 선형대수와 행렬 거듭제곱의 비동질적 성장률 분석에 기반한다. 저자는 행렬 곱의 비정규화된 형태를 b진법의 디지털 전개와 연결시켜, 평균값을 b‑진법 구간