그레이엄 스케줄과 숫자 분할 문제의 새로운 연결 고리

초록

본 논문은 두 프로세서 스케줄링(2PS)과 숫자 분할 문제(NPP)가 서로 동등함을 간단히 증명하고, 그레이엄의 LPT 스케줄에 대한 새로운 사전(a priori) 경계와 사후(a posteriori) 경계를 제시한다. 특히 ‘가능한 마지막 작업(PLJ)’ 개념을 도입해 사전 경계를 계산량 없이 얻을 수 있게 하였으며, 실험과 비대칭적 분석을 통해 기존의 그래엄·코프먼·세티 경계와 비교한다. 마지막으로 작업 시간의 분산과 작업 수에 따른 비대칭적 asymptotic 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 NPP와 2PS 사이의 등가성을 “idle time 최소화 = makespan 최소화”라는 관점에서 직관적으로 증명한다. 증명 자체는 두 최적 해의 합이 전체 작업량과 동일함을 이용해 차이가 0임을 보이는 단순한 연쇄 논리이며, 기존 문헌에서 암묵적으로 알려졌던 사실을 명시적으로 정리한 점이 의의다. 이후 그레이엄의 LPT 스케줄에 대한 기존 경계인 C_G/C_O ≤ 7/6(그레이엄)과 C_G/C_O ≤ 1+1/k−1/(2k) (코프먼·세티)를 재검토한다. 여기서 k는 최종 작업을 수행한 프로세서에 할당된 작업 수이다.

새로운 사전 경계는 “마지막 작업(L)”의 인덱스 L을 이용해 M=⌈L/2⌉을 정의하고, 복잡한 다항식 P=24M³/(7+12M+24M²) 를 도입해
C_G/C_O ≤ (P+1)/P−1/(2P)
라는 형태로 제시한다. 증명은 “경계가 위배될 경우”라는 가정 하에 역으로 P 값을 도출하는 방식으로, 직접적인 상한을 구하기보다 부정 명제를 이용하는 비표준적 접근이다. 이 과정에서 t_L ≤ 6C_G/(7P) 라는 부등식을 이용해 P를 6M/7 로 설정하고, 다시 반복하여 최종 식을 얻는다. 비록 증명 흐름이 다소 복잡하고 직관적이지 않지만, 실험적으로 기존 경계와 비슷하거나 약간 개선된 값을 보인다.

사후 경계를 계산하기 위해 저자는 “가능한 마지막 작업(PLJ)”이라는 개념을 도입한다. PLJ는 t_i ≥ Σ_{j=i+1}^n t_j 를 만족하는 가장 큰 i 로 정의되며, 이는 L ≥ PLJ 를 보장한다. PLJ는 O(n²) 시간으로 구할 수 있다고 주장한다. PLJ를 이용해 P’ = ⌈PLJ/2⌉ 로 정의하고, 앞서와 동일한 형태의 사전 경계
C_G/C_O ≤ (Q+1)/Q−1/(2Q) (Q = 24P’³/(7+12P’+24P’²))
를 얻는다. 이 경계는 실제 스케줄을 수행하지 않아도 계산 가능하다는 점에서 실용적이다.

마지막으로 비대칭적 asymptotic 분석을 제시한다. 작업 집합을 PLJ를 기준으로 두 부분으로 나누고, δ = t_{PLJ}/t_1 로 정의한다. 이를 통해 N이 충분히 클 때
C_G/C_O ≈ 1 + 1/n + δ/n
이라는 근사식을 얻는다. 이는 작업 수가 많아질수록 최적과 LPT 스케줄의 비율이 1에 수렴함을 의미한다.

전체적으로 논문은 기존 경계와 비교했을 때 큰 혁신보다는 “PLJ”라는 새로운 관점을 제공한다는 점에서 의미가 있다. 그러나 증명 과정의 비표준성, PLJ 계산 복잡도(O(n²))가 실제 대규모 데이터에 적용하기엔 부담이 될 수 있다는 점, 그리고 실험이 15~25개의 작은 인스턴스에 국한된 점은 한계로 지적된다. 또한 참고문헌이 오래된 자료에 의존하고, 최신 메타휴리스틱(예: Karmarkar‑Karp)과의 비교가 빠져 있어 실용적 가치 평가가 제한적이다.