헤라다리히 피니트 자료형 순위와 역순위 함수

본 논문은 함수형 프로그래밍, 특히 Haskell을 이용해 헤라다리히 피니트(Hereditarily Finite, HF) 자료형들의 순위(ranking)와 역순위(unranking) 문제를 체계적으로 탐구한다. 핵심 아이디어는 일반적인 트리 구조 T (a = atom, F = forest)를 정의하고, 자연수를 트리로 변환하는 unrank 와 트리를 자연수로 변환하는 rank 를 각각 anamorphism과 catamorphism으로 구현하는 것이다. 이때 변환 함수 f 와 그 역함수 g 가 전단사이면 unrank 과 rank 는 서로 역함수가 되며, 재귀 호출이 유한 단계에서 종료된다는 명제를 제시한다. 첫 번째 사례로 Ackermann가 1937년에 제시한 헤라다리히 피니트 집합(HFS)과 자연수 사이의 전단사 hfs2nat 과 nat2hfs 을 다룬다. Ackermann 인코딩은 집합을 2의 거듭제곱 합으로 표현하는 set2nat 과 nat2set 을 이용한다. Haskell 구현에서는 rank 와 unrank 에 set2nat, nat2set 을 매개변수로 전달함으로써 HFS와 자연수 사이의 변환을 간결히 표현한다. 이를 통해