언어 형식화와 리처드‑베리 역설의 모순

초록

리처드‑베리 역설을 튜링 기계의 서술 복잡도와 결합해, 모든 자연어 문장을 완전히 형식화할 경우 “복잡도가 n 이상인 최초의 텍스트”라는 문장이 스스로 모순을 일으킨다는 논증을 제시한다. 이를 통해 자연어의 완전한 계산적 형식화는 불가능함을 주장한다.

상세 분석

본 논문은 고전적인 리처드‑베리 역설을 현대 계산이론의 도구인 콜모고로프‑키틴 복잡도 개념에 접목한다. 저자는 먼저 “텍스트의 형식 복잡도”를 정의한다. 이는 해당 텍스트를 정확히 기술할 수 있는 가장 작은 튜링 기계(또는 등가의 프로그램)의 비트 길이이며, 여러 가능한 형식화 중 가장 짧은 것을 선택한다. 이 정의는 자연어 문장을 기계적으로 인코딩할 수 있다는 가정에 기반한다.

두 가지 핵심 가정이 제시된다. 첫째, 무한성 가정: 임의의 정수 n에 대해 복잡도가 n보다 큰 텍스트가 존재한다는 주장이다. 이는 자연어가 무한히 다양한 의미와 구조를 포함한다는 직관과 일치한다. 둘째, 로그 복잡도 가정: “복잡도가 n인 최초의 텍스트”를 기술하는 문장 t(n)의 형식 복잡도는 t(20)의 복잡도에 로그 n 정도만 추가된다는 것이다. 이는 정수 n을 표현하는 데 필요한 비트 수가 ⌈log₂ n⌉임을 이용한 논리적 추론이다.

이제 “복잡도가 n 이상인 최초의 텍스트”라는 문장을 t(n)이라 두고, 두 경우를 검토한다.

1. t(20)의 형식 복잡도가 20보다 작다면, t(20) 자체가 “복잡도가 20 이상인 최초의 텍스트”라는 정의를 위배한다.
2. 복잡도가 k≥20이라면, 로그 복잡도 가정에 의해 충분히 큰 K>k를 잡을 수 있다. 그러면 t(K)의 복잡도는 K보다 작아지므로, “복잡도가 K 이상인 최초의 텍스트”라는 정의가 또다시 모순을 낳는다.

두 번째 경우는 “그러한 최초 텍스트가 존재하지 않는다”는 가정이다. 그러나 무한성 가정에 의해 모든 텍스트의 복잡도가 20 미만일 수 없으므로 역시 모순이 발생한다.

결국, 텍스트를 복잡도 순으로 정렬하고 “복잡도가 n 이상인 최초의 텍스트”를 지정하는 행위 자체가 리처드‑베리 역설과 동일한 자기참조적 모순을 일으킨다. 이는 자연어를 완전하게 튜링 기계로 형식화하는 것이 논리적으로 불가능함을 시사한다. 논문은 이 결론을 통해 형식 의미론이 지향하는 ‘완전한 언어 형식화’ 목표에 근본적인 한계가 있음을 강조한다.