임의 그래프에서 선(Sun) 찾기의 NP‑완전성

초록

본 논문은 그래프 이론에서 중요한 구조인 선(sun)이 임의의 그래프에 존재하는지를 판별하는 문제가 NP‑완전임을 증명한다. 기존에 chordal 및 HHD‑free 그래프에서 선을 다항시간에 찾을 수 있던 결과와 대비해, 일반 그래프에서는 이 문제가 계산적으로 어려움이 있음을 보인다. 또한 선 찾기 문제를 k‑SUN 형태로 일반화하고, k‑SUN 자체가 k‑CLIQUE로부터 다항시간 환원될 수 있음을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 선(sun)의 정의를 명확히 한다. 2k개의 정점으로 이루어진 짝수 길이 사이클에 짝수 인덱스 정점들을 전부 서로 연결해 완전 부분 그래프를 만든 구조를 k‑sun이라 부른다. 강하게 chordal 그래프는 chordal이면서 어떠한 선도 포함하지 않는 그래프이며, Farber의 정리(정리 1)에 의해 “모든 정점이 단순 소거 순서를 가짐”과 동치이다. 기존 연구에서는 chordal 그래프와 HHD‑free(집, 구멍, 도미노를 포함하지 않는) 그래프에서 선을 다항시간에 인식할 수 있음을 보였지만, 일반 그래프에 대한 복잡도는 미해결 상태였다.

주요 공헌은 정리 2로, 선 존재 여부 결정 문제가 NP‑완전임을 증명한다. 이를 위해 Poljak이 제시한 “삼각형‑없는 그래프에서 k‑안정집합 찾기” 문제를 사용한다. 입력 삼각형‑없는 그래프 G와 정수 k에 대해, 새로운 그래프 f(G,k)를 구성한다. 각 원래 정점 vi를 k개의 복제 vi¹,…,viᵏ로 바꾸어 클리크 Vi를 만들고, 추가 클리크 W={u₁,w₁,…,u_k,w_k}, 그리고 안정집합 X={x₁,…,x_k}를 만든다. 연결 규칙은 (i) viʲ와 uj, wj를 전부 연결하고, (ii) xi와 wi, ui₊₁을 연결하는 식이다. 이 구조는 다음 두 가지 핵심 성질을 가진다. 첫째, f(G,k)에는 서로 다른 Vi에 속한 정점들이 동시에 삼각형을 이루지 않는다(관찰 1). 둘째, 같은 Vi에 속한 두 정점이 W와 공통 이웃을 가질 경우, 그들의 W와의 인접 집합이 동일하다(관찰 2).

이후 “G에 k‑안정집합이 존재 ⇔ f(G,k)에 2k‑sun이 존재”임을 주장하고, 양방향을 상세히 증명한다. 특히, 선이 존재한다면 그 귀(ear) 중 정확히 k개가 U=⋃Vi에 속하고, 나머지 k개는 X에 위치한다는 것을 보인다. 귀가 U에 있으면 양 옆의 중심 정점은 반드시 W에 있어야 함을 (식 4)와, 귀가 X에 있으면 양 옆의 중심이 U에 있어야 함을 (식 5, 6)으로 논리 전개한다. 최종적으로 선의 구조가 반드시 2k‑sun이며, 그 귀가 속한 Vi들의 원래 정점들은 G에서 서로 인접하지 않으므로 안정집합을 형성한다. 반대로, G에 안정집합이 있으면 위의 구성으로 바로 2k‑sun을 만들 수 있다. 따라서 선 존재 문제는 안정집합 문제와 다항시간 환원 가능하고, 안정집합 문제가 NP‑완전이므로 선 존재 문제도 NP‑완전임을 얻는다.

정리 3에서는 선 존재 문제의 난이도를 더욱 제한한다. f(G,k) 그래프는 k≥4인 경우에도 k‑반홀(k‑antihole) 크기 ≥7을 포함하지 않는다. 반홀 존재를 가정하고 모순을 유도함으로써, 선이 존재하더라도 이러한 큰 반홀은 절대 나타날 수 없음을 보인다. 이는 선 찾기 문제가 “반홀을 제한한 그래프”에서도 여전히 NP‑완전함을 의미한다.

마지막으로 정리 4에서는 k‑SUN 문제 자체가 NP‑완전임을 증명한다. k‑CLIQUE 문제를 k‑SUN 문제로 직접 환원한다. 주어진 그래프 G에 대해, 각 간선 ab에 대해 새로운 정점 v(a,b)를 추가하고 이를 a와 b에 연결해 그래프 h(G)를 만든다. 이때 h(G)의 k‑sun은 반드시 k개의 원래 정점이 클리크를 이루고, 나머지 k개의 정점은 새로 만든 degree‑2 정점들이다. 따라서 G에 k‑클리크가 존재하면 h(G)에 k‑sun이 존재하고, 반대로 h(G)에 k‑sun이 있으면 그 중심 정점들은 G에서 k‑클리크를 형성한다. 이렇게 k‑CLIQUE의 NP‑완전성을 그대로 k‑SUN에 전달함으로써, k‑SUN이 NP‑완전임을 확립한다.

전체적으로 논문은 선(sun) 구조가 그래프 이론에서 차지하는 위치를 재조명하고, 일반 그래프에서 선을 찾는 문제의 계산 복잡도를 정확히 규명한다. 이는 강하게 chordal 그래프의 특성화, HHD‑free 그래프 알고리즘의 한계, 그리고 더 넓은 완전 그래프 이론에서의 응용 가능성을 제시한다.