부분 색채 다항식과 대각선이 서로 다른 스도쿠 구성

이 논문은 두 개의 독립적인 주제를 다루면서도, 둘 다 스도쿠와 그래프 색채 이론이라는 공통된 수학적 배경 위에 놓여 있다. 첫 번째 부분에서는 “부분 색채 다항식(partial chromatic polynomial)”이라는 개념을 소개하고, 기존 문헌(Herzberg와 Murty, 2007)에서 제시된 두 가지 증명—Möbius 역전과 수축(contraction) 기반 증명—을 대체할 새로운 증명을 제시한다. 논문은 그래프 G의 정점 집합 V와 부분 색칠 C(λ₀개의 색을 사용) 를 가정한다. 여기서 C와 일치하는 “generic” 색칠은 정점을 독립 집합들로 분할하는 방식이며, 이러한 분할을 r개의 추가 독립 집합을 포함하도록 확장한다. 각 확장 단계에서 색을 지정하는 자유도는 (λ−λ₀), (λ−λ₀−1)…와 같이 감소하는 곱으로 나타난다. 따라서 모든 가능한 generic 색칠들의 합은 p_{G,C}(λ)=∑_{r=0}^{|V|-|C|} m_r(G,C)·(λ−λ₀)(λ−λ₀−1)…(λ−λ₀−r+1) 이라는 형태가 된다. 여기서 m_r(G,C) 는 정확히 λ₀+r개의 독립 집합을 갖는 generic 색칠의 개수이다. 최고 차항 r=|V|-|C| 에서는 각 남은 정점이 독립 집합 하나씩을 차지하므로 m_{|V|-|C|}=1이며, 따라서 최고 차항의 계수가 1인 단항 다항식이 된다. 이 증명은 전체 색채 다항식의 전통적인 전개와 구조적으로 동일한 방식을 차용함으로써, 부분 색칠이 전체 색칠 공간에 어떻게 삽입되는지를 직관적으로 보여준다. 두 번째 부분에서는 “대각선이 서로 다른 스도쿠”의 존재성을 증명한다. n²×n² 격자를 n×n 블록으로 나누고, 기본 블록(1,1)에 1부터 n²까지의 수를 임의의 순서 a(r,c) 로 채운다. 이후 블록 (i,j) 의 (r,c) 위치에 들어갈 값은 a\bigl(