구성적 보렐‑카시리 레마와 요구되는 통계적 성질을 갖는 궤도 구성

초록

일반적인 가산가능 메트릭 공간과 가산가능 측도 체계에서, 측정값이 효과적으로 수렴하는 일련의 집합 (A_i) (어떤 방식으로든 구성 가능)가 주어지면, 무한히 많은 (A_i) 에 포함되지 않는 가산가능한 점들을 찾을 수 있음을 보이는 구성적 보렐‑카시리 레마를 증명한다. 이 결과를 이용하면, 가산가능한 불변 측도를 가지고 Birkhoff 평균이 리프시츠 관측량에 대해 “로그arithmic” 수렴 속도를 보이는 넓은 클래스의 동역학계에 대해, Birkhoff 정리를 만족하는 즉 전형적인 통계적 행동을 따르는 가산가능한 초기점이 존재함을 얻는다. 이론은 균등히 초과하는 시스템, 구간 위의 부분 확장 사상, 무관심 고정점을 갖는 구간 시스템 등에 적용되며, 직접적으로는 어떤 진법에서도 정상(normal)인 가산가능한 실수를 존재함을 의미한다.

상세 요약

이 논문은 현대 계산 가능성 이론과 확률론적 동역학 사이의 교차점에 새로운 도구를 제공한다. 전통적인 보렐‑카시리 보조정리는 “(\sum \mu(A_i)<\infty)”이면 거의 모든 점이 결국은 유한 개의 (A_i)에만 속한다는 확률론적 명제를 담고 있다. 그러나 계산 가능성 관점에서는 “거의 모든”이라는 말이 실제로 어떤 점을 구성할 수 있는지를 보장하지 않는다. 저자들은 이를 극복하기 위해 구성적(constructive)이라는 추가 조건을 도입한다. 구체적으로는

1. 가산가능 메트릭 공간 ((X,d))와 가산가능 측도 (\mu)가 주어지고,
2. 각 집합 (A_i\subseteq X)가 효과적으로 열려(effectively open) 혹은 효과적으로 닫혀(effectively closed)인 형태로 기술될 수 있으며,
3. (\mu(A_i))의 합이 효과적으로 수렴(effectively summable)한다는 것이 요구된다.
   이러한 전제 하에, 저자들은 컴퓨터가 실제로 출력할 수 있는 점 (x\in X)를 구성한다. 이 점은 무한히 많은 (A_i)에 속하지 않으며, 따라서 전통적인 보렐‑카시리 보조정리의 “거의 모든”을 “가산가능한 구체적인”으로 강화한다.

다음 단계에서는 이 점이 동역학계 ((X,T,\mu))에서 전형적인 통계적 행동을 보이는지를 검증한다. 여기서 전형적인 행동이란 Birkhoff 평균
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