일반항으로부터 모든 급수의 합을 구하는 방법

초록

Euler는 일반항 X를 미분·적분 연산으로 전개한 뒤, 이를 이용해 급수의 부분합 S를 구하는 일반 공식(오늘날의 Euler‑Maclaurin 공식)을 도출한다. 이 공식을 통해 정수 거듭제곱의 합, 조화급수와 그 변형, 그리고 ζ(2), ζ(3), ζ(4)와 같은 리만 제타값의 근사식을 얻는다.

상세 분석

Euler는 먼저 미분 연산자를 “dx”라 두고, 함수 y(x)의 증분 y(x+ a) 를 테일러 급수 형태
y(x+ a)=y+ a dy/dx+ a² d²y/(2!dx²)+… 로 전개한다. 여기서 a를 “무한히 큰 정수 m”과 “극소 dx”의 곱 (m·dx = a) 로 해석함으로써, 연속적인 변화와 이산적인 증가를 동일 선상에 놓는다. 이 아이디어를 급수의 부분합 S(x)=∑_{k=1}^{x}X(k) 에 적용하면, S와 그 전 단계 S−X 사이의 관계를
X = dS/dx − d²S/(2!dx²)+ d³S/(3!dx³)−… 로 얻는다. 이는 현재 알려진 Euler‑Maclaurin 공식의 역방향 형태이며, 여기서 dx는 1로 놓을 수 있다.

다음 단계에서 Euler는 dS/dx 를 X와 그 고차 미분들의 선형 결합으로 가정하고, 계수 α,β,γ,… 를 재귀적으로 구한다. 이 계수들은 1, 1/2, 1/6, −1/30, 1/42,… 로 나타나며, 오늘날 베르누이 수와 직접 연결된다. 실제로 S를 전개하면
S = ∫ X dx + ½ X + 1/12 X’ − 1/720 X’’’ + 1/30240 X⁽⁵⁾ − …
와 같은 형태가 되며, 여기서 ∫ X dx 은 연속적인 적분, 나머지 항들은 차분 보정항이다.

Euler는 이 공식을 이용해 X = nᵏ (k는 양의 정수) 인 경우를 다루어, ∑_{i=1}^{x} iᵏ 를 다항식 형태로 정확히 표현한다. 그는 k=1부터 16까지 전개하고, 각 차수마다 베르누이 수가 어떻게 등장하는지를 직접 계산한다. 또한 X = 1/n (조화급수) 에 적용해, 부분합을
S = ln x + γ + 1/(2x) − 1/(12x²) + 1/(120x⁴) − …
와 같이 전개한다. 여기서 γ는 현재의 오일러-마스케로니 상수이며, Euler는 실제 수치를 10, 100, 1000 등에서 계산해 매우 정확한 근사값을 얻는다.

더 나아가 X = 1/(2n−1) (홀수 역수 급수) 와 X = 1/n² (제곱 역수 급수) 에도 동일한 절차를 적용한다. 특히 제곱 역수 급수에서는 상수항을 정밀히 구해 ζ(2)=π²/6 를 얻고, ζ(3), ζ(4) 에 대한 근사식도 제시한다. Euler는 이러한 결과를 “무한히 큰 x” 한계에서 상수항만 남는 형태로 해석함으로써, 급수의 전체 합을 구하는 새로운 방법을 제시한다.

전체적으로 Euler는 미분·적분을 통한 연속-이산 변환을 체계화하고, 이를 통해 다양한 급수의 부분합과 무한합을 고차 보정항까지 포함한 정확한 식으로 전개한다. 이는 현대 해석학에서 “Euler‑Maclaurin summation formula”이라 불리는 핵심 도구의 탄생 배경을 명확히 보여준다.