유한체 위의 노이베르크 입체와 타원곡선 군구조

논문은 먼저 보편 기하학의 기본 개념을 소개한다. 여기서는 거리 대신 ‘사각거리(quadrance)’ Q(A₁,A₂) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)², 그리고 각 대신 ‘스프레드(spread)’ s(l₁,l₂) = (a₁b₂−a₂b₁)²/(a₁²+b₁²)(a₂²+b₂²) 를 정의한다. 이러한 정의는 특성 2가 아닌 모든 유한체 𝔽에 적용 가능하며, 직교, 반사, 평행, 평면의 기본 법칙을 대수식으로 표현한다. 다음으로 삼각형 A₁A₂A₃의 주요 중심을 정의한다. 무게중심 G, 외심 C, 내심 I, 오르토센트 O 등은 모두 사각거리와 스프레드만으로 기술될 수 있다. 특히, ‘정점 이등분선(vertex bisector)’이 존재하려면 삼각형의 스프레드가 모두 제곱이어야 함을 보이며, 이는 유한체에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 논문은 이러한 조건을 만족하는 삼각형을 선택해 연구를 진행한다. ‘노이베르크 입체(Neuberg cubic)’는 점 P에 대해 각 변에 대한 반사점 P₁, P₂, P₃을 구하고, 선 P₁A₁, P₂A₂, P₃A₃이 한 점에서 교차하도록 하는 점들의 집합으로 정의된다. 반사 연산은 위에서 제시된 선·점 반사 공식에 의해 명시적으로 계산된다. 저자는 𝔽₂₃ 위에서 삼각형 I₁=